2023学年湖南省怀化市中方县第一中学高考仿真卷数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在时取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 2．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（ ） A．在上是减函数 B．在上是增函数 C．不是函数的最小值 D．对于，都有 3．若集合，则=（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．若复数z满足,则复数z在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．如图，圆的半径为，，是圆上的定点，，是圆上的动点， 点关于直线的对称点为，角的始边为射线，终边为射线，将表示为的函数，则在上的图像大致为（ ） A． B． C． D． 7．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（　　） A． B． C． D．大小关系不能确定 9．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B．3 C． D．4 11．已知直线：过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 12．若、满足约束条件，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，且．若，则的值为________________. 14．等边的边长为2，则在方向上的投影为________． 15．已知，，求____________. 16．如图，直三棱柱中，，，，P是的中点，则三棱锥的体积为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ． （Ⅰ）若θ=，求的值； （Ⅱ）若BC=4，AB=2，求边AC的长． 18．（12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，若. （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，，求. 19．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）证明： 20．（12分）已知A是抛物线E：y2＝2px(p>0)上的一点，以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x＝1于M，N两点. （1）若|MN|＝2，求抛物线E的方程； （2）若0＜p＜1，抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P，Q，点G为PQ的中点，O为坐标原点，求直线OG斜率的取值范围. 21．（12分）已知在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，为的中点，连接，为的中点，连接. （1）求证：. （2）求二面角的余弦值. 22．（10分）已知函数. （1）求证：当时，； （2）若对任意存在和使成立，求实数的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用辅助角公式化简的解析式，再根据正弦函数的最值，求得在函数取得最小值时的值． 【题目详解】 解：，其中，，， 故当，即时，函数取最小值， 所以， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 2、B 【答案解析】 根据函数对称性和单调性的关系，进行判断即可． 【题目详解】 由得关于对称， 若关于对称，则函数在上不可能是单调的， 故错误的可能是或者是， 若错误， 则在，上是减函数，在在上是增函数，则为函数的最小值，与矛盾，此时也错误，不满足条件． 故错误的是， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查函数性质的综合应用，结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键． 3、C 【答案解析】 求出集合，然后与集合取交集即可． 【题目详解】 由题意，，，则，故答案为C. 【答案点睛】 本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 4、B 【答案解析】 可判断函数在上单调递增，且，所以. 【题目详解】 在上单调递增，且， 所以. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解能力. 5、A 【答案解析】 化简复数，求得，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解. 【题目详解】 由题意，复数z满足，可得， 所以复数在复平面内对应点的坐标为位于第一象限 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 6、B 【答案解析】 根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【题目详解】 由题意，当时，P与A重合，则与B重合， 所以,故排除C,D选项； 当时，，由图象可知选B. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题. 7、D 【答案解析】 倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【题目详解】 解：因为直线与直线垂直，所以，. 又为直线倾斜角，解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 8、B 【答案解析】 先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【题目详解】 根据题意，阴影部分的面积的一半为：， 于是此点取自阴影部分的概率为． 又，故． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 9、C 【答案解析】 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【题目详解】 A. ，值域为，非奇非偶函数，排除； B. ，值域为，奇函数，排除； C. ，值域为，奇函数，满足； D. ，值域为，非奇非偶函数，排除； 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 10、C 【答案解析】 首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积. 【题目详解】 解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体， 如图所示： 故：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 11、A 【答案解析】 根据直线：过双曲线的一个焦点，得，又和其中一条渐近线平行，得到，再求双曲线方程. 【题目详解】 因为直线：过双曲线的一个焦点， 所以，所以， 又和其中一条渐近线平行， 所以， 所以，， 所以双曲线方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12、C 【答案解析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【题目详解】 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分（包括边界）所示． 由，得，平移直线，当直线经过点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值， 即. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据三角函数定义表示出，由同角三角函数关系式结合求得，而，展开后即可由余弦差角公式求得的值. 【题目详解】 点在单位圆上，设， 由三角函数定义可知， 因为，则， 所以由同角三角函数关系式可得， 所以 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三角函数定义，同角三角函数关系式的应用，余弦差角公式的应用，属于中档题. 14、 【答案解析】 建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可. 【题目详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，， 则：，， 且，， 据此可知在方向上的投影为. 【答案点睛】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15、 【答案解析】 求出向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果. 【题目详解】 ，，， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 16、 【答案解析】 证明平面，于是，利用三棱锥的体积公式即可求解. 【题目详解】 平面，平面， ，又. 平面， 是的中点， . 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）；（Ⅱ） 【答案解析】 （Ⅰ）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果. （Ⅱ）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果. 【题目详解】 （Ⅰ），所以 所以； （Ⅱ）， 所以， 所以，， 所以， 所以边． 【答案点睛】 本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题. 18、（Ⅰ）（Ⅱ）8 【答案解析】 （Ⅰ）由余弦定理可得，即可求出A, （Ⅱ）根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出. 【题目详解】 （Ⅰ）由余弦定理， 所以， 所以， 即， 因为， 所以； （Ⅱ）因为，所以， 因为， ， 由正弦定理得，所以. 【答案点睛】 本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题. 19、（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析 【答案解析】 （1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果； （2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明. 【题目详解】 （Ⅰ） 则 当且仅当，即，时， 所以的最小值为． （Ⅱ）要证明：， 只需证：， 即证明：， 由， 也即证明：． 因为， 所以当且仅当时，有， 即，当时等号成立． 所以 【答案点睛】 本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题. 20、（1）.（2） 【答案解析】 （1）设A的坐标为A（x0，y0），由题意可得圆心C的坐标，求出C到直线x＝1的距离.由半个弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值，进而求出抛物线的方程； （2）将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进而求出中点G的坐标，再求出直线OG的斜率的表达式，换元可得斜率