2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品6高中数学.docx

第六章三角函数 考纲导读 1．了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切． 2．掌握三角函数的公式〔同角三角函数根本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式〕及运用． 3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明． 4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此根底上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法〞画出正弦函数、余弦函数和的简图，理解的物理意义． 5．会由三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角． 6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题． 知识网络 任意角的三角函数 三 角 函 数 两角和与差的三角函数 三角函数的图象和性质 角的概念的推广、弧度制 任意角的三角函数的定义 同角三角函数根本关系 诱导公式 两角和与差的正弦、余弦、正切 二倍角的正弦、余弦、正切 y＝sinx, y＝cosx的图象和性质 y＝tanx的图象和性质 y＝Asin(x＋)的图象 三角函数值求角 高考导航 三角局部的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这局部知识的命题有如下特点： 1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期． 2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为根底题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等． 3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识． 根底过关 第1课时 任意角的三角函数 一、角的概念的推广 1．与角终边相同的角的集合为 ． 2．与角终边互为反向延长线的角的集合为 ． 3．轴线角〔终边在坐标轴上的角〕 终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ． 4．象限角是指： ． 5．区间角是指： ． 6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ º． 8．弧长公式：l ＝ ； 扇形面积公式：S＝ . 二、任意角的三角函数 9．定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| ＝r，那么sin＝ ； cos＝ ；tan＝ ； － ＋ － + cosx, ＋ ＋ － － sinx, － ＋ ＋ － tanx, x y O x y O x y O 10．三角函数的符号与角所在象限的关系： 12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域： 解析式 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 值 域 13．三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线． x y O 典型例题 例1. 假设是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置. 解： ∵是第二象限的角， ∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°〔k∈Z〕. 〔1〕∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°〔k∈Z〕， ∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. 〔2〕∵k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°〔k∈Z〕， 当k=2n〔n∈Z〕时， n·360°+45°＜＜n·360°+90°； 当k=2n+1〔n∈Z〕时， n·360°+225°＜＜n·360°+270°. ∴是第一或第三象限的角. 〔3〕∵k·120°+30°＜＜k·120°+60°〔k∈Z〕， 当k=3n〔n∈Z〕时， n·360°+30°＜＜n·360°+60°； 当k=3n+1〔n∈Z〕时， n·360°+150°＜＜n·360°+180°； 当k=3n+2〔n∈Z〕时， n·360°+270°＜＜n·360°+300°. ∴是第一或第二或第四象限的角. 变式训练1：是第三象限角，问是哪个象限的角？ 解： ∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°〔k∈Z〕， 60°+k·120°＜＜90°+k·120°. ①当k=3m(m∈Z)时，可得 60°+m·360°＜＜90°+m·360°〔m∈Z〕. 故的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得 180°+m·360°＜＜210°+m·360°〔m∈Z). 故的终边在第三象限. ③当k=3m+2 〔m∈Z〕时，可得 300°+m·360°＜＜330°+m·360°〔m∈Z〕. 故的终边在第四象限. 综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合以下条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合: (1)sin≥;(2)cos≤. 解：〔1〕作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB， 那么OA与OB围成的区 域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为 |2k+≤≤2k+，k∈Z . 〔2〕作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，那么OC与OD围成的区域〔图中阴影局部〕 即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为 . 变式训练2：求以下函数的定义域： 〔1〕y=；〔2〕y=lg(3-4sin2x〕. 解：〔1〕∵2cosx-1≥0，∴cosx≥. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示). ∴x∈〔k∈Z〕. 〔2〕∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-＜sinx＜. 利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x〔k-,k+〕〔kZ). 例3. 角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值. 解：∵角的终边在直线3x+4y=0上， ∴在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 那么x=4t,y=-3t, r=|t|, 当t＞0时，r=5t, sin=,cos=, tan=; 当t＜0时，r=-5t,sin=, cos=, tan=. 综上可知，t＞0时，sin=,cos=,tan=; t＜0时，sin=,cos=-,tan=. 变式训练3：角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值． 解：由题意，得 故角是第二或第三象限角． 当，点P的坐标为， 当，点P的坐标为， 例4. 一扇形中心角为α，所在圆半径为R． (1) 假设α，R＝2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 假设扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 解：〔1〕设弧长为l，弓形面积为S弓。 △＝ ＝〔cm2〕 扇形周长 ∴ ∴ 当且仅当22＝4，即α＝2时扇形面积最大为． 变式训练4：扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB． 解：设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为α 那么有 ∴ 由|α|＝得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm ) 小结归纳 1．本节内容是三角函数的根底内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系． 2．在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类题时首先要弄清：①角的范围是什么？②对应的三角函数值是正还是负？③与此相关的定义、性质或公式有哪些 第2课时 同角三角函数的根本关系及诱导公式 根底过关 1．同角公式： (1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝ ，1＋cot2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝ (3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1 2．诱导公式： －α π－α π＋α 2π－α 2kπ＋α sin cos sin cos 规律：奇变偶不变，符号看象限 3．同角三角函数的关系式的根本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 4．诱导公式的作用： 诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值． 典型例题 例1. f()=; 〔1〕化简f(); 〔2〕假设是第三象限角，且cos，求f()的值. 解 ：〔1〕f〔〕==-cos. 〔2〕∵cos=-sin, ∴sin=-,cos=-, ∴f()=. 变式训练1：A＝那么A构成的集合是 ( ) A．{－1, 1, －2, 2} B．{1, －1} C．{2, －2} D．{－2, －1, 01, 2} 解：C 例2．求值：(1) ，求的值． 2) ，求以下各式的值．①；② 解：〔1〕； 〔2〕 变式训练2：化简：① ， ② 解：①原式＝sinθ ② 原式＝0 例3. －，sin x＋cos x＝． 〔1〕求sin x－cos x的值． 〔2〕求的值． 解：( 1 ) －，( 2 ) － 变式训练3：sin +cos=,∈(0,).求值： 〔1〕tan;〔2〕sin-cos;〔3〕sin3+cos3. 解 方法一 ∵sin+cos=,∈(0,), ∴(sin+cos)2==1+2sincos， ∴sincos=-＜0. 由根与系数的关系知， sin,cos是方程x2-x-=0的两根， 解方程得x1=,x2=-. ∵sin＞0,cos＜0,∴sin=,cos =-. ∴〔1〕tan=-. 〔2〕sin-cos=. 〔3〕sin3+cos3=. 方法二 〔1〕同方法一. 〔2〕〔sin-cos〕2=1-2sin·cos =1-2×=. ∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0, ∴sin-cos=. 〔3〕sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2) =×=. 例4．tan=2,求以下各式的值： 〔1〕; 〔2〕 ; 〔3〕4sin2-3sincos-5cos2. 解：〔1〕原式=. 〔2〕. 〔3〕∵sin2+cos2=1, ∴4sin2-3sincos-5cos2 = =. 变式训练4：sin(+k)=-2cos(+k) (k∈Z). 求:〔1〕; 〔2〕sin2+cos2. 解：由得cos(+k)≠0, ∴tan(+k)=-2(k∈Z),即tan