2023学年湖南省怀化市重点中学高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（ ）. A．9 B．6 C． D． 2．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 3．已知向量，夹角为，， ，则( ) A．2 B．4 C． D． 4．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．若复数满足,则(　　) A． B． C． D． 7．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ） A． B． C． D． 8．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．双曲线：（），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 11．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．21 B．22 C．11 D．12 12．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数为________. 14．设等差数列的前项和为，若，，则______，的最大值是______. 15．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________. 16．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，75%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为百分之________． “我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注： 1．同意画“○”，不同意画“×”． 2．每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票． 甲 乙 丙 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为，王慧每次击中鼓的概率为；每轮游戏中张明和王慧击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏. （1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？ （2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和的分布列和数学期望. 18．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）. （1）请用角表示清洁棒的长； （2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 19．（12分）已知函数，且． （1）若，求的最小值，并求此时的值； （2）若，求证:． 20．（12分）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积. 21．（12分）如图，三棱锥中， （1）证明：面面； （2）求二面角的余弦值. 22．（10分）已知函数. （1）当时，求函数的值域. （2）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设，，，由可得，利用定义将用表示即可. 【题目详解】 设，，，由及， 得，故， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题. 2、C 【答案解析】 先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出. 【题目详解】 设直线的倾斜角为，则， 所以，，即， 所以直线的方程为.当直线的方程为， 联立，解得和，所以； 同理，当直线的方程为.，综上，或.选C. 【答案点睛】 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义. 3、A 【答案解析】 根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【题目详解】 由于， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 4、B 【答案解析】 转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【题目详解】 由，可知． 设，则， 所以函数在上单调递增， 所以． 所以． 故的取值范围是． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 5、C 【答案解析】 对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【题目详解】 ∵ ，. 当时，，在上单调递增，不合题意. 当时，，在上单调递减，也不合题意. 当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得. 综上，的取值范围是. 故选C. 【答案点睛】 本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题． 6、C 【答案解析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【题目详解】 解：由，得， ∴． 故选C． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 7、C 【答案解析】 根据题目中的基底定义求解. 【题目详解】 因为， ， ， ， ， ， 所以能作为集合的基底， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 8、C 【答案解析】 根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【题目详解】 由几何体的三视图可得， 几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱， 故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积， 即， 故选C. 【答案点睛】 本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积. 9、D 【答案解析】 由恒成立，等价于的图像在的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案. 【题目详解】 因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故. 故选：D 【答案点睛】 此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题. 10、B 【答案解析】 首先求得双曲线的一条渐近线方程，再利用左焦点到渐近线的距离为2，列方程即可求出，进而求出渐近线的方程. 【题目详解】 设左焦点为，一条渐近线的方程为，由左焦点到渐近线的距离为2，可得，所以渐近线方程为，即为, 故选：B 【答案点睛】 本题考查双曲线的渐近线的方程，考查了点到直线的距离公式，属于中档题. 11、A 【答案解析】 由题意知成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出的值. 【题目详解】 解：由为等差数列，可知也成等差数列， 所以 ，即，解得. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少. 12、D 【答案解析】 如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率. 【题目详解】 如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于. 因为，故四边形为平行四边形，故. 又双曲线为中心对称图形，故. 设，则，故，故. 因为为直角三角形，故，解得. 在中，有，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用复数的乘法运算求出，再利用共轭复数的概念即可求解. 【题目详解】 由， 则. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念，属于基础题. 14、 【答案解析】 利用等差数列前项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，可求出的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值. 【题目详解】 （1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以，数列的通项公式为； （2），， 令，则且，， 由双勾函数的单调性可知，函数在时单调递减，在时单调递增， 当或时，取得最大值为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 15、 【答案解析】 根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解. 【题目详解】 由双曲线C：（，， 可得一条渐近线，一个顶点， 所以，解得， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 16、91 【答案解析】 设共有选票张，且票对应张数为，由此可构造不等式组化简得到，由投票有效率越高越小，可知，由此计算可得投票有效率. 【题目详解】 不妨设共有选票张，投票的有，票的有，票的有，则由题意可得： ，化简得：，即， 投票有效率越高，越小，则，， 故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为． 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查线性规划的实际应用问题，关键是能够根据已知条件构造出变量所满足的关系式. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）详见解析 【答案解析】 （1）要积分超过分，则需两人共击中次，或者击中次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. （2）求得的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.