上海市长宁区2023学年高一数学下学期期末考试试题含解析.doc

上海市长宁区2023年-2023年学年高一数学下学期期末考试试题（含解析） 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据反正弦函数定义得结果 【详解】由反正弦函数定义得函数的值域是 【点睛】本题考查反正弦函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题 2.在等差数列中，，当最大时，的值是________. 【答案】6或7 【解析】 分析】 利用等差数列的前项和公式，由，可以得到和公差的关系，利用二次函数的性质可以求出最大时，的值. 【详解】设等差数列的公差为， ， ， 所以 ， 因为，，所以当或时，有最大值， 因此当的值是6或7. 【点睛】本题考查了等差数列前项和公式，考查了等差数列的前项和最大值问题，运用二次函数的性质是解题的关键. 3.若，则______. 【答案】， 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值求解三角方程 【详解】因为 【点睛】本题考查解简单三角方程，考查基本分析求解能力，属基础题 4.在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据弧长公式求解 【详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以 【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题 5.由于坚持经济改革，我国国民经济继续保持了较稳定的增长.某厂2023年年的产值是100万元，计划每年产值都比上一年增加，从2023年年到2023年年的总产值为______万元（精确到万元）. 【答案】464 【解析】 【分析】 根据等比数列求和公式求解 【详解】由题意得从2023年年到2023年年各年产值构成以100 为首项，1.1为公比的等比数列，其和为 【点睛】本题考查等比数列应用以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题 6.设数列是等差数列，，，则此数列前20项和等于______. 【答案】180 【解析】 【分析】 根据条件解得公差与首项，再代入等差数列求和公式得结果 【详解】因为，，所以， 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题 7.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值 【详解】因为 所以角最大值为 【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题 8.（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得. 考点：恒成立问题. 9.若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是__________． 【答案】100 【解析】 因为数列是“调和数列”，所以，即数列是等差数列，所以，，所以，，当且仅当时等号成立，因此的最大值为100． 点睛：本题考查创新意识，关键是对新定义的理解与转化，由“调和数列”的定义及已知是“调和数列”，得数列是等差数列，从而利用等差数列的性质可化简已知数列的和，结合基本不等式求得最值．本题难度不大，但考查的知识较多，要熟练掌握各方面的知识与方法，才能正确求解． 10.在直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，若其终边经过点，且，定义：，称“”为“的正余弦函数”，若，则_________ ． 【答案】 【解析】 试题分析：根据正余弦函数定义，令，则可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本题正确答案为. 考点：三角函数的概念. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 11.“”是“”成立的（） A. 充分非必要条件. B. 必要非充分条件. C. 充要条件. D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A 【解析】 【分析】 依次分析充分性与必要性是否成立. 【详解】时，而时不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要条件，选A. 【点睛】本题考查充要关系判定，考查基本分析判断能力，属基础题 12.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（） A. 8 B. 2 C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件解得首项，再求 【详解】因为，所以，选D. 【点睛】本题考查等比数列通项公式中基本量，考查基本分析求解能力，属基础题 13.用数学归纳法证明的过程中，设，从递推到时，不等式左边为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 比较与时不等式左边的项，即可得到结果 【详解】 因此不等式左边为，选C. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题 14.如图，函数的图像是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 取特殊值，即可进行比较判断选择 【详解】因为，所以舍去D; 因为，所以舍去A; 因为，所以舍去B;选C. 【点睛】本题考查图象识别，考查基本分析判断能力，属基础题 三、解答题（本大题共6个题，满分58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】 过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解 【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为， 过作的垂线，垂足为， 则，，， ， 所以， 答：电视塔的高为约. 【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题 16.已知数列的通项公式为. （1）求这个数列的第10项； （2）在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由. 【答案】（1）（2）只有一项 【解析】 【分析】 （1）根据通项公式直接求解（2）根据条件列不等式，解得结果 【详解】解：（1）； （2）解不等式得， 因为为正整数，所以，因此在区间内只有一项. 【点睛】本题考查数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题 17.已知函数（其中，）的最小正周期为. （1）求的值； （2）如果，且，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 分析】 （1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据余弦函数性质求解（2）先求得，再根据两角差余弦公式求解 【详解】解：（1）因为. 所以， 因为，所以. （2）由（1）可知， 所以，因为， 所以，所以. 因为 . 所以. 【点睛】本题考查二倍角余弦公式、两角差余弦公式以及余弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题 18.已知数列满足关系式，. （1）用表示，，； （2）根据上面的结果猜想用和表示的表达式，并用数学归纳法证之. 【答案】（1），，（2）猜想：，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据递推关系依次代入求解，（2）根据规律猜想，再利用数学归纳法证明 【详解】解：（1），∴，，； （2）猜想：. 证明：当时，结论显然成立； 假设时结论成立，即， 则时，，即时结论成立. 综上，对时结论成立. 【点睛】本题考查归纳猜想与数学归纳法证明，考查基本分析论证能力，属基础题 19.在锐角中，角所对的边分别为，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解． 试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即. 又因为，所以. 因为为锐角三角形，所以. （2）在中，由余弦定理，得，即.解得或. 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积. 考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式． 20.已知数列前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列. 【答案】（1）（2）（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明. 【详解】（1），所以， 由得时，， 两式相减得，，， 数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以. （2）若数列是常数列， 为常数. 只有，解得， 此时. （3）① ，，其中，所以， 当时，② ②式两边同时乘以得，③ ①式减去③得，，所以， 因为， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列. 【点睛】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题 - 13 -