2023年抽象函数模型化总结.docx

抽象函数模型化总结 高三数学总复习——抽象函数 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的根本函数为背景抽象而得，解题时，假设能从研究抽象函数的“模型〞入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种根本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜想出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。 常见的抽象函数对应的初等函数模型如下: 初等函数模型 抽象函数性质 正比例函数 一次函数 幂函数 二次函数（a≠0） f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数 对数函数 或f(xm)=mf(x) 余弦函数 正切函数 下面从这一认识出发，例谈七种类型的抽象函数及其解法。（备注：解小题可参对应的具体函数，解大题得赋值，可在草纸上借助具体函数验证赋值所得结果是否正确。另并不是所有的抽象函数都能找到中学阶段所学的初等函数，此时，只能通过赋值解决问题。） 一．以正比例函数为模型的抽象函数 正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。假设我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。 例1、函数对任意实数，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。 分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数 的值域，关键在于研究它的单调性。 解：设，∵当，∴， ∵， ∴，即，∴f（x）为增函数。 在条件中，令y＝－x，那么， 再令x＝y＝0，那么f（0）＝2 f（0）， ∴ f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数， ∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4， ∴ f（x）的值域为［－4，2］。 二、以一次函数为模型的抽象函数 一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。 例2、函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜想：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，∵当，∴，那么， 即，∴f（x）为单调增函数。 ∵， 又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴， 即，解得不等式的解为－1 三、以幂函数为模型的抽象函数 幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法那么知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。 例3、函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。 （1）判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明； （3）假设，求a的取值范围。 分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。 解：（1）令y＝－1，那么f（－x）＝f（x）·f（－1）， ∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x）， ∴ f（x）为偶函数。 （2）设，∴，， ∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2）， 故f（x）在0，＋∞）上是增函数。 （3）∵f（27）＝9，又， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，又，故。 四、二次函数型的抽象函数 例4.定义在的函数满足，，那么等于（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 解：法一;设函数为，由得到，又由，，知，； 法二：所以 法三： 5、以指数函数为模型的抽象函数 由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。 例5、函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当 例6、函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1， （1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）假设+ (-3)≤1，求的范围； （4）试证()=（n∈N） 分析：由 可知f（x）是对数函数 的抽象函数， 解:（1）令=1，=4，那么(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0 （2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2 (3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4) 在（0，+∞）上单调递增 ∴ ∴ ∈（3，4] （4）∵ ∴ 例7、设f (x)是定义在R+上的增函数，且f (x)=+ f (y)，假设f (3)=1，，求x的取值范围。 分析：由f (x)=+ f (y) 可知f（x）是对数函数的抽象函数 解：∵f(3)=1 ∴ f (3)+ f (3)=2 ∴f ()+f (3)= f (9) =2 ∵f (x)=+ f(y) 即f (x)- f(y)= ∴ ∴f [x(x-5)]> f (9) ∵f (x)是定义在R+上的增函数 ∴ 解得： 七、以三角函数为模型的抽象函数 如满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f（x+y）的抽象函数，那么常以正切函数为模型进行联想。 例8、设函数满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。 分析：由和=2coscos知，此题应是以余弦函数为模型的函数 解：令=+，= 那么=0 ∴∴为周期函数且2π是它的一个周期。 例9、函数满足，假设，试求(2023)。 分析：由和(+)=可知，此题应是以正切函为模型的函数 解∵==- ∴(+4)= ∴是以4为周期的周期函数 又∵f(0)=2023 ∴===- ∴f(2023)=-  综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有相同或相似结构的根本函数，并由根本函数的相关结构，预测、猜想抽象函数可能具有的性质 “抽象—具体—抽象〞的模型化思考方法，借此可帮助同学们捕捉到有益的解题信息，可使抽象函数问题顺利获解。 练习： 1、函数f(x)为R上的偶函数，对都有成立，假设，那么=（ B ） A . 2023 B. 2 C.1 D.0 提示：先令 2. f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，那么 （ ） 3. 。（2022） 4．对任意整数函数满足：，假设，那么（c ） A.-1 B.1 C. 19 D. 43 5.定义在的函数满足，，那么（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 6．设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),假设x>0时f(x) （2）解不等式 高三数学总复习——函数的周期性与对称性 （同号看周期，异号看对称） 编号 周 期 性 对 称 性 1 →T=2 →对称轴Û是偶函数； →对称中心（a,0）Û是奇函数 2 →T= →对称轴； →对称中心； 3 f(x)= -f(x+a)→T=2 f(x)= -f(-x+a)→对称中心 4 →T=2 →对称中心 5 f(x) +f(-x+a)= b→对称中心 7 →T=6 8 →T=2 结论(1)    函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，那么函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2)    函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3)    函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，那么函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称； y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称 练习题 一、选择题： 1、是上的增函数，假设令，那么是上的（ ） A．减函数 B．增函数 C．先减后增的函数 D．先增后减的函数 2、函数是定义在上的奇函数，函数的图象与函数 的图象关于直线对称，那么的值为 （ ） A．2 B．1 C．0 D．不能确定 3、定义在上的函数满足，当时，单调递增，如果，且，那么的值为（ ） A．恒大于零 B．恒小于零 C．可能为零 D．可正可负 4、函数对于任意，有，且，那么的值为（ ） A．2 B． C． D． 二、填空题： 5、假设函数满足，且对任意都有 ，那么 。 6、定义在上的函数的图象关于点中心对称，对任意的实数都有，且，那么的值为 。 7、函数对于任意实数满足条件，假设那么__________。 8、假设，那么（1）函数的一个周期为 ；（2）函数的一个周期为 . 9、假设函数那么的值为 。 三、解答题： 10、函数对任意非零实数都有，且时,。 （1）试判断函数的奇偶性；（2）求函数在上的值域；（3）解不等式。 11、设函数的定义域为，且满足对任意，有，且当时，。（1）求的值；（2）判断的单调性并证明的你的结论； （3）设,假设,试确定的取值范围；（4）试举出一个满足条件的函数。 12. (2)当x∈(-1,0)时,有f(x)>0. 求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数； （Ⅱ） 解:(1)易证f(x)是奇函数。 （2）易证f(x)在(-1,0),(0,1)上是单调递减函数. 参考答案（仅供参考） 一、选择题： 1 解：（1）特例：满足条件的函数，如； （2），是将函数的图象关于轴对称，再右移一个单位得到，单调递减，是将函数向左移动一个单位得到，在关于轴对称，单调递减，应选。 2、解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 关于点（1，0）对称. 因此，关于（0，1）对称 即 故 3、解：有，知中有一个小于2，一个大于2，不妨设，又由知以为对称中心，且当时，单调递增，所以，所以，应选。 4、解：，， 二、填空题： 5、解：（1）令 再令， （2）令，略。 6、解：由函数的图象关于点中心对称，得， 又由，所以， 为偶函数 ， 令，由，得； 令，由，得， 7、解：由，得, 8、解：，把2x-3看成函数的自变量， 那么得函数的一个周期为9； 所以，函数的一个周期为. 9、解： 三、解答题： 10、解：（1）令 再令 令，得 为偶函数 （2） 又 且在上是单调递增函数 解得 故不等式的解集为 11、解：（1）令 （2）任取 令 令 （或） 函数在上单调递减。 （4）如 函 数 图 象