2023学年湖南省长沙市宁乡市高考仿真模拟数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 4．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A． B．2 C． D．1 5．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A． B． C． D． 6．一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为．则的表达式为（ ）． A． B． C． D． 7．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( ) A． B．0 C． D． 9．设，则，则（ ） A． B． C． D． 10．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ） A．12个月的PMI值不低于50%的频率为 B．12个月的PMI值的平均值低于50% C．12个月的PMI值的众数为49.4% D．12个月的PMI值的中位数为50.3% 11．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ） A． B．3 C．1 D． 12．已知双曲线的实轴长为，离心率为，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上运动，若为锐角三角形，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设函数，若对于任意的，∈[2，，≠，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 14．设，则______. 15．已知复数，其中为虚数单位，则的模为_______________. 16．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，，，0，2，则该组数据的标准差为_______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数），直线的参数方程为（其中为参数） （1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程； （2）若曲线与直线交于两点，点的坐标为，求的值. 18．（12分）已知两数． （1）当时，求函数的极值点； （2）当时，若恒成立，求的最大值． 19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求点的坐标. 20．（12分）如图，在三棱柱中， 平面ABC. （1）证明：平面平面 （2）求二面角的余弦值. 21．（12分）已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 22．（10分）已知函数. （1）当时，解不等式； （2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据复数运算，即可容易求得结果. 【题目详解】 . 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算，属基础题. 2、C 【答案解析】 确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为，利用双勾函数单调性求最值得到答案. 【题目详解】 是奇函数， ， 易知均为减函数，故且在上单调递减， 不等式，即， 结合函数的单调性可得，即， 设，，故单调递减，故， 当，即时取最大值，所以. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式，参数分离求最值是解题的关键. 3、A 【答案解析】 根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【题目详解】 由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则. 由得,则. 又MN为过焦点的弦,所以,则,所以. 故选：A 【答案点睛】 本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题. 4、C 【答案解析】 根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【题目详解】 双曲线的离心率， 则，，解得，所以焦点坐标为， 所以， 则双曲线渐近线方程为，即， 不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 5、B 【答案解析】 因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【题目详解】 因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题. 6、D 【答案解析】 根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【题目详解】 解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件， 需要卸下件邮件， 则， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题． 7、D 【答案解析】 先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【题目详解】 由，，可得或， 又 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 8、D 【答案解析】 运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【题目详解】 由题意，函数为辅助角， 由于函数的对称轴的方程为，且， 即，解得，所以， 又由，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设，， 所以， 当时，的最小值，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 9、A 【答案解析】 根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案. 【题目详解】 ， ， . ，显然. ,即， ，即. 综上，. 故选：. 【答案点睛】 本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题. 10、D 【答案解析】 根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【题目详解】 对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确； 对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确； 对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，； 对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误 故选：D. 【答案点睛】 本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 11、D 【答案解析】 整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【题目详解】 由题,, 因为纯虚数,所以,则, 故选:D 【答案点睛】 本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 12、A 【答案解析】 由已知先确定出双曲线方程为，再分别找到为直角三角形的两种情况，最后再结合即可解决. 【题目详解】 由已知可得，，所以，从而双曲线方程为 ，不妨设点在双曲线右支上运动，则，当时， 此时，所以， ，所以； 当轴时，，所以，又为锐角三 角形，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况，即为直角三角形，是一道中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 试题分析：由题意得函数在[2，上单调递增，当时在[2，上单调递增；当时在上单调递增；在上单调递减，因此实数a的取值范围是 考点：函数单调性 14、121 【答案解析】 在所给的等式中令，,令，可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求. 【题目详解】 令，得，令，得，两式相加，得，所以. 故答案为:. 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易. 15、 【答案解析】 利用复数模的计算公式求解即可. 【题目详解】 解：由，得， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查复数模的求法，属于基础题. 16、 【答案解析】 先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差． 【题目详解】 解：某地区连续5天的最低气温（单位：依次为8，，，0，2， 平均数为：， 该组数据的方差为： ， 该组数据的标准差为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）5 【答案解析】 （1）首先消去参数得到曲线的普通方程，再根据，，得到曲线的极坐标方程； （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义得解； 【题目详解】 解：（1）曲线：消去参数得到：， 由，， 得 所以 （2）代入， 设，，由直线的参数方程参数的几何意义得： 【答案点睛】 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题． 18、（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1 【答案解析】 （1）求出导函数，求得的解，确定此解两侧导数值的正负，确定极值点； （2）问题可变形为恒成立，由导数求出函数的最小值，时，无最小值，因此只有，从而得出的不等关系，得出所求最大值． 【题目详解】 解：（1）定义域为，当时， ， 令得，当 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有唯一的极大值点，无极小值点． （2）当时，． 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 令，则，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以 所以， 所以， 故的最大值为1． 【答案点睛】 本题考查用导数求函数极值