2023年高考数学解答题分类汇编立体几何高中数学.docx

2023年高考数学试题分类汇编——立体几何 〔2023上海文数〕20.〔本大题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值7分，第2小题总分值7分. 如以下图，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面〔不安装上底面〕. (1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该 最大值〔结果精确到0.01平方米〕; (2)假设要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图〔作图时，不需考虑骨架等因素〕. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，那么l=1.2-2r(0<r<0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p， 所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米； (2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图略． 〔2023湖南文数〕18.〔本小题总分值12分〕 如以下图，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 〔Ⅰ〕求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； 〔Ⅱ〕证明：平面ABM⊥平面A1B1M1 〔2023浙江理数〕〔20〕〔此题总分值15分〕如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面. 〔Ⅰ〕求二面角的余弦值； 〔Ⅱ〕点分别在线段上，假设沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。 解析：此题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等根底知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力。 〔Ⅰ〕解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以, 又因为平面平面. 如图建立空间直角坐标系A-xyz 那么〔2，2，〕，C〔10，8，0〕， F〔4，0，0〕，D〔10，0，0〕. 故=〔-2，2，2〕，=〔6，0，0〕. 设=〔x,y,z〕为平面的一个法向量， -2x+2y+2z=0 所以 6x=0. 取，那么。 又平面的一个法向量， 故。 所以二面角的余弦值为 〔Ⅱ〕解：设那么， 因为翻折后，与重合，所以， 故， ，得， 经检验，此时点在线段上， 所以。 方法二： 〔Ⅰ〕解：取线段的中点,的中点,连结。 因为=及是的中点， 所以 又因为平面平面， 所以平面, 又平面, 故， 又因为、是、的中点， 易知∥， 所以， 于是面， 所以为二面角的平面角， 在中，=，=2，= 所以. 故二面角的余弦值为。 〔Ⅱ〕解：设, 因为翻折后，与重合， 所以， 而， 得， 经检验，此时点在线段上， 所以。 〔2023全国卷2理数〕〔19〕如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，． 〔Ⅰ〕证明：为异面直线与的公垂线； 〔Ⅱ〕设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小． 【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力. 【参考答案】 (19)解法一： 〔I〕连接A1B，记A1B与AB1的交点为F. 因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ………………3分 作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点. 又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，那么DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线. 〔II〕因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，那么AB1=，DG=，CG=，AC=. 作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角. 【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形〞到“形〞的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处. 〔2023陕西文数〕18.(本小题总分值12分) 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD； (Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V. 解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC. 又BC∥AD,∴EF∥AD, 又∵AD平面PAD,EF平面PAD, ∴EF∥平面PAD. (Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G, 那么BG⊥平面ABCD,且EG=PA. 在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=. ∴S△ABC=AB·BC=××2=, ∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=. 〔2023辽宁文数〕〔19〕〔本小题总分值12分〕 如图，棱柱的侧面是菱形， 〔Ⅰ〕证明：平面平面； 〔Ⅱ〕设是上的点，且平面，求的值. 解：〔Ⅰ〕因为侧面BCC1B1是菱形，所以 又 所又平面A1BC1，又平面AB1C ， 所以平面平面A1BC1 . 〔Ⅱ〕设BC1交B1C于点E，连结DE， 那么DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线， 因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE. 又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点. 即A1D：DC1=1. 〔2023辽宁理数〕〔19〕〔本小题总分值12分〕 三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点. 〔Ⅰ〕证明：CM⊥SN； 〔Ⅱ〕求SN与平面CMN所成角的大小. 证明： 设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。 那么P〔0,0,1〕，C〔0,1,0〕，B〔2,0,0〕，M〔1,0,〕，N〔,0,0〕，S〔1,,0〕.……4分 〔Ⅰ〕, 因为， 所以CM⊥SN ……6分 〔Ⅱ〕, 设a=〔x，y，z〕为平面CMN的一个法向量， 那么 ……9分 因为 所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分 〔2023全国卷2文数〕〔19〕〔本小题总分值12分〕 如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB 〔Ⅰ〕证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线； 〔Ⅱ〕设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小 【解析】此题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的根底知识。 〔1〕要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。 〔2〕由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。 〔2023江西理数〕20. 〔本小题总分值12分〕 如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。 （1） 求点A到平面MBC的距离； （2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。 【解析】此题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一：〔1〕取CD中点O，连OB，OM，那么OB⊥CD， OM⊥CD.又平面平面,那么MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，那么∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，那么MHBC，求得： OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：。 〔2〕CE是平面与平面的交线. 由〔1〕知，O是BE的中点，那么BCED是菱形. 作BF⊥EC于F，连AF，那么AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为. 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°. ， ， 所以，所求二面角的正弦值是. 【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决 解法二：取CD中点O，连OB，OM，那么OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,那么MO⊥平面. 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图. OB=OM=，那么各点坐标分别为O〔0，0，0〕，C〔1，0，0〕，M〔0，0，〕，B〔0，-，0〕，A〔0，-，2〕， 〔1〕设是平面MBC的法向量，那么， ，由得；由得；取，那么距离 〔2〕，. 设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，那么 设所求二面角为，那么. 【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎 〔2023安徽文数〕19.(本小题总分值13分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点， (Ⅰ)求证：FH∥平面EDB; 〔Ⅱ〕求证：AC⊥平面EDB; 〔Ⅲ〕求四面体B—DEF的体积； 【命题意图】此题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查体积的计算等根底知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. 【解题指导】〔1〕设底面对角线交点为G，那么可以通过证明EG∥FH，得∥平面；〔2〕利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，平面；〔3〕证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积. 【规律总结】此题是典型的空间几何问题，图形不是规那么的空间几何体，所求的结论是线面平行与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证明线面平行，利用线线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积. 〔2023重庆文数〕〔20〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕小问5分，〔Ⅱ〕小问7分. 〕 如题〔20〕图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点. 〔Ⅰ〕证明：平面； 〔Ⅱ〕假设，求二面角的平面角的余弦值. 〔2023浙江文数〕〔20〕〔此题总分值14分〕如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。 〔Ⅰ〕求证：BF∥平面A’DE； 〔Ⅱ〕设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。 〔2023