2023学年湖南省宁乡一中等部分中学高考冲刺模拟数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 2．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于( ) A． B． C． D． 3．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D．1 4．已知函数满足，设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则；其中真命题的个数为（ ） A． B． C． D． 6．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平 B．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨 C．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨 D．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 7．已知向量与的夹角为，，，则( ) A． B．0 C．0或 D． 8．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．3 D．4 9．已知向量，是单位向量，若，则（ ） A． B． C． D． 10．如图在一个的二面角的棱有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱，且，则的长为（ ） A．4 B． C．2 D． 11．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 12．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ） A．8 B．7 C．4 D．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．实数，满足，如果目标函数的最小值为，则的最小值为_______． 14．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____. 15．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____. 16．已知函数，令，，若，表示不超过实数的最大整数，记数列的前项和为，则_________ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知与有两个不同的交点，其横坐标分别为（）. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 18．（12分）已知函数. （1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点. （2）若函数在区间上不单调，证明：. 19．（12分）已知函数． （1）求函数的零点； （2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：； （3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围． 20．（12分）已知函数， （1）若，求的单调区间和极值； （2）设，且有两个极值点，，若，求的最小值. 21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点. ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若，求的值； ⑶设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 22．（10分）已知函数. （Ⅰ）已知是的一个极值点，求曲线在处的切线方程 （Ⅱ）讨论关于的方程根的个数. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案. 【题目详解】 如图所示：作垂直于准线交准线于，则， 在中，，故，即. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2、B 【答案解析】 由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B. 3、B 【答案解析】 过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设，将表示成关于的函数，再求函数的最值，即可得答案. 【题目详解】 过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF. 因为平面平面ABCD，所以平面ABCD， 所以. 因为底面ABCD是边长为1的正方形，，所以. 因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离. 易证平面平面ABE， 所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离. 不妨设，则，. 因为，所以， 所以，当时，等号成立. 此时EH与ED重合，所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意辅助线及面面垂直的应用. 4、B 【答案解析】 结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 解：若，则，即成立， 若，则由，得， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题． 5、C 【答案解析】 利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决. 【题目详解】 如果两条平行线中一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于这个平面知①正确；当直线 平行于平面与平面的交线时也有，，故②错误；若，则垂直平面 内以及与平面平行的所有直线，故③正确；若，则存在直线且，因 为，所以，从而，故④正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系，里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理，是一道基础题. 6、D 【答案解析】 先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【题目详解】 由折线图易知A、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为，由题意可知，，，则有，所以D正确. 故选：D 【答案点睛】 此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题. 7、B 【答案解析】 由数量积的定义表示出向量与的夹角为，再由，代入表达式中即可求出. 【题目详解】 由向量与的夹角为， 得， 所以， 又，，，， 所以，解得. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查向量数量积的运算和向量的模长平方等于向量的平方，考查学生的计算能力，属于基础题. 8、A 【答案解析】 根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，由此可得双曲线的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得，解可得，由离心率公式计算可得答案． 【题目详解】 根据题意，抛物线的焦点为， 则双曲线的焦点也为，即， 则有，解可得， 双曲线的离心率. 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出抛物线焦点的坐标，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 9、C 【答案解析】 设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【题目详解】 设，， 是单位向量，, ，， 联立方程解得：或 当时，； 当时，； 综上所述：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况. 10、A 【答案解析】 由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求． 【题目详解】 解：， ， ，， ，， ． ， ， 故选：． 【答案点睛】 本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11、B 【答案解析】 先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【题目详解】 令，则当时，， 又，所以为偶函数， 从而等价于， 因此选B. 【答案点睛】 本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 12、D 【答案解析】 转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解. 【题目详解】 由题意得， ，集合的真子集的个数为个. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最小值为，确定出的值，进而确定出C点坐标，结合目标函数几何意义，从而求得结果. 【题目详解】 先做的区域如图可知在三角形ABC区域内， 由得可知，直线的截距最大时，取得最小值， 此时直线为， 作出直线，交于A点， 由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线也过A点， 由，得，代入，得， 所以点C的坐标为． 等价于点与原点连线的斜率， 所以当点为点C时，取得最小值，最小值为， 故答案为：. 【答案点睛】 该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目. 14、 【答案解析】 根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值. 【题目详解】 根据题意,连接,如下图所示: 在等腰三角形中,已知, 则由向量数量积运算可知 线段的中点分别为则 由向量减法的线性运算可得 所以 因为,代入化简可得 因为 所以当时, 取得最小值 因而 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题. 15、 【答案解析】 设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【题目详解】 由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为， 由抛物线定义知，，解得， 不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1， 又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得， 点F到双曲线的渐近线的距离. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用