2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案导数的综合应用高中数学.docx

11．5 导数的综合应用 一、明确复习目标 了解可导函数的单调性与其导数的关系，会用导数分析函数的单调性，进而求解函数不等式的问题； 二．建构知识网络 1．函数的单调性与导数的关系，求单调区间的方法〔见上一节〕； 2．利用导数解不等式问题：〔高考中的一类新题型〕 〔1〕利用导数确定函数的单调性， 〔2〕利用单调性研究不等式。 三、双基题目练练手 1．a>0，函数f〔x〕=x3－ax在［1，+∞〕上是单调增函数，那么a的最大值是 A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数f〔x〕=sin〔3x－〕在点〔,〕处的切线方程是 〔 〕 A．3x+2y+－=0, B．3x－2y+－=0 C．3x－2y－－=0, D．3x+2y－－=0 3．(2023湖北)假设的大小关系 〔 〕 A． B． C． D．与x的取值有关 4．〔2023江西〕对于上可导的任意函数f(x),假设满足(x－1)f′(x)≥0,那么必有〔 〕 A．f(0)+ f(2)<2 f(1) B． f(0)+ f(2)≤2 f(1) C． f(0)+ f(2)≥2 f(1) D． f(0)+ f(2)>2 f(1) 5．假设函数y=－x3+bx有三个单调区间，那么b的取值范围是________． 6．方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有_______个实数根． 简答:1－4．DBDC； 5． y′=－4x2+b，假设y′值有正、有负，那么b>0．答案：b>0 6．设f〔x〕=x3－3x+c，那么〔x〕=3x2－3=3〔x2－1〕． 当x∈〔0，1〕时，〔x〕<0恒成立． ∴f〔x〕在〔0，1〕上单调递减． ∴f〔x〕的图象与x轴最多有一个交点． 因此方程x3－3x+c=0在［0，1〕上至多有一实根． 四、经典例题做一做 【例1】证明：当x>0时，有 证明：设f(x)=x-sinx,于是f(0)=0． ∵f/(x)=1-cosx(仅在x=2kπ(k∈Z)处f/(x)=0 ∴当x>0时，f(x)单调递增，从而有f(x)>f(0) 即x-sinx>0, x>sinx(x>0) 为证不等式，设 g(x)=sinx-x+,那么g(0)=0, 于是g/(x)>0,∴g(x)在x>0时递增，从而有g(x)>g(0)=0 即 故当x>0时有 提炼方法：证不等式的依据I： （1） 假设函数f(x)在x>a可导，且递增，那么f(x)>f(a); （2） 假设函数f(x)在x>a可导，且递减，那么f(x)f(a); 关键在于构造恰当的函数，一般是左-右，右-左，左÷右等。 【例2】 求证：函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。 证明：设F(x)=(2-x)ex-1,(x<2) ∵F/(x)=(1-x)ex-1, 当x<1时，F/〔x〕>0,当1<x<2时，F/(x)<0． ∴x=1时，F(x)有极大值，也就是最大值。 ∴F(x)≤F(1)=1,又x<2, ∴ ∴函数f(x)图像上的点不可能在函数g(x)图像的上方。 提炼方法：证不等式的依据II： (1)假设函数f(x)在某一范围内有最小值m,那么f(x)≥m． (2)假设函数f(x)在某一范围内有最大值M，那么f(x)≤m． 【例3】(2023全国Ⅰ〕函数 〔Ⅰ〕设a>0，讨论y=f(x)的单调性； 〔Ⅱ〕假设对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1，求a的取值范围 解(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞)。 对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax (ⅰ)当a=2时, f '(x)= e－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞) 为增函数； (ⅱ)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数； (ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= － , x2= 当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表： x (-∞, -) (-,) (,1) (1,+∞) f '(x) ＋ － ＋ ＋ f(x) ↗ ↘ ↗ ↗ f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数。 (Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1 (ⅱ)当a>2时, 取x0= ∈(0,1),那么由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1 (ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e－ax≥1,得 f(x)= e－ax≥ >1 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1 。 特别提示：对于求单调区间、极值、最值问题，根据导数的零点把定义区间分开，列出表格，再分析各区间导数的符号，进而确定单调区间、极值最值，清楚直观不易出错。 【例4】 (2023全国Ⅰ) 在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的局部为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量 求： 〔Ⅰ〕点M的轨迹方程； 〔Ⅱ〕的最小值。 解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0) y=2(0<x<1) y '=－ 设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= － ,得切线AB的方程为: y=－ (x－x0)+y0 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= 由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为: + =1 (x>1,y>2) (Ⅱ)| |2= x2+y2, y2= =4+ , ∴| |2= x2－1++5≥4+5=9 且当x2－1= ,即x=>1时,上式取等号 故||的最小值为3 【研讨欣赏】(2023湖北) 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点． 〔1〕求a与b的关系式〔用a表示b〕，并求f(x)的单调区间； 〔2〕设>0，=〔〕．假设存在使得||<1成立，求的取值范围． 解：〔1〕 由f′(3)=0得 所以 令f′(x)=0得 由于x=3是f(x)的极值点，故x1≠x2，即a≠-4 当时，，故f(x)在上为减函数，在上为减函数，在上为增函数 当a>4时，x1>x2，故f (x)在(－∞,－a－1]上为减函数，在[－a－1,3]上为增函数，在[3,+∞)上为减函数． 〔2〕当a>0时，－a－1<0，故f(x)在[0,3]上为增函数，在[3,4]上为减函数，在[3,+∞)上为减函数 因此f(x)在[0,4]上的值域为 而在[0,4]上为增函数，所以值域为 注意到， 故由假设知解得 故的取值范围是 考查知识：函数、不等式和导数的应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 五．提炼总结以为师 1．利用导数求解不等式问题的核心是利用导数判定函数的单调性，这就转化为一般的函数问题； 2．利用导数证明不等式有两种方法： 3．导数是研究函数问题的工具，注意它在其它数学问题中的综合与应用。 同步练习 11．5 导数的综合应用 【选择题】 1某物体作s=2〔1－t〕2的直线运动，那么t=0．8 s时的瞬时速度为 ( ) A．4 B．－4 C－4．8 D－0．8 2．函数f〔x〕=x4－4x3+10x2，那么方程f〔x〕=0在区间［1，2］上的根有 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．假设f(x)是在〔－L，L〕内的可导的偶函数，且不恒为0，那么 〔 〕 〔A〕必定是〔－L，L〕内的偶函数 〔B〕必定是〔－L，L〕内的奇函数 〔C〕必定是〔－L，L〕内的非奇非偶函数 〔D〕可能是〔－L，L〕内的奇函数，可能是偶函 4．的值是 〔 〕 A． B．0 C．8 D．不存在 【填空题】 5．曲线y=上的点到直线2x－y+3=0的最短距离为 6设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其外表积最小时，底面边长为________ 简答．提示：1－4．DDBC; 2．〔x〕=4x〔x2－3x+5〕在［1，2］上，〔x〕>0， ∴f〔x〕在［1，2］上单调递增．∴f〔x〕≥f〔1〕=7． ∴f〔x〕=0在［1，2］上无根．答案：D 3．由f(－x)=f(x)，求导得． 4．， 5． ; 6．设底面边长为x，那么高为h=， ∴S表=3×x+2×x2=+x2 ∴S′=－+x令S′=0，得x=．答案： 【解答题】 7． x∈R,求证：ex≥x+1． 证明:设f〔x〕=ex－x－1,那么f′〔x〕=ex－1． ∴当x=0时，f′〔x〕=0,f〔x〕=0． 当x＞0时，f′〔x〕＞0,∴f〔x〕在〔0,+∞〕上是增函数．∴f〔x〕＞f〔0〕=0． 当x＜0时，f′〔x〕＜0,f〔x〕在〔－∞,0〕上是减函数，∴f〔x〕＞f〔0〕=0． ∴对x∈R都有f〔x〕≥0．∴ex≥x+1． 8．〔2023江西〕函数在与时都取得极值． 〔1〕求、的值及函数f(x)的单调区间; 〔2〕假设对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围． 解: f/(x)=3x2－x－2=(3x－2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表： f/(x) f(x) 极大值 极小值 所以函数f(x)的递增区间为与; 递减区间为． 9．〔2023重庆〕函数f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,c∈R为常数。 〔Ⅰ〕假设b2>4(c-1)，讨论函数f(x)的单调性； 〔Ⅱ〕假设，且，试证：。 解〔I〕求导得f/(x)=[x2+(b+2)x+b+e]ex ∵b2>4(c-1)故方程f/(x)=0 即 x2+(b+2)x+b+e=0有两个实根 令f/(x)>0,解得x<x1,或x>x2． 又令f/(x)<0,解得x1<x<x2． 故当x∈(－∞,x1)时，f(x)是增函数，x∈(x2,+∞)时，f(x)也是函数，当x∈(x1,x2)时，f(x)是减函数。 〔II〕易知 ∴ ∴由条件得 解得 10． (2023浙江)函数f(x)=x+ x，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过〔0，0〕和〔x,f (x)〕两点的直线平行〔如图〕． 求证：当n时， (Ⅰ)x 〔Ⅱ〕 xm xm+1 o y x 证明：〔I〕因为 所以曲线在处的切线斜率 因为过和两点的直线斜率是 所以． 〔II〕因为函数当时单调递增， 而， 所以，即 因此 又因为令那么 因为所以 因此故 【探索题】 函数f(x)=f(x)的导函数是 对任意两个不相等的正数，证明：当时， 证法一：由，得 ∴ 下面证明对任意两个不相等的正数,有恒成立 即证成立 ∵ 设，那么 令得，列表如下：