2023学年湖北省孝感高中高考数学三模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在上单调递增，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，，的零点分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的渐近线方程为，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知为虚数单位，若复数，则 A． B． C． D． 5．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，正方体的棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ） A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍 C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍 D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 8．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 9．已知抛物线：，直线与分别相交于点，与的准线相交于点，若，则（ ） A．3 B． C． D． 10．已知为等比数列，，，则（ ） A．9 B．－9 C． D． 11．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数在上的最小值和最大值分别是_____________． 14．等腰直角三角形内有一点P，，，，，则面积为______. 15．满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________ 16．如图，在平面四边形中，点，是椭圆短轴的两个端点，点在椭圆上，，记和的面积分别为，，则______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，，求数列的前项和. 18．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 19．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点． （1）证明：平面； （2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积． 20．（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E． （1）求证：四边形ACC1A1为矩形； （2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值． 21．（12分）在三棱锥中，为棱的中点， (I)证明：； (II)求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下： 等级 不合格 合格 得分 频数 6 24 （1）由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数； （2）其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率； （3）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的数学期望． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围. 【题目详解】 由,可得, 时,,而, 又在上单调递增,且, 所以,则,即,故. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 2、C 【答案解析】 转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解. 【题目详解】 函数，，的零点，即为与，，的交点， 作出与，，的图象， 如图所示，可知 故选：C 【答案点睛】 本题考查了数形结合法研究函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合的能力，属于中档题. 3、B 【答案解析】 试题分析：由题意得，，所以，，所求双曲线方程为． 考点：双曲线方程. 4、B 【答案解析】 因为，所以，故选B． 5、C 【答案解析】 由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【题目详解】 由双曲线与双曲线有相同的渐近线， 可得，解得，此时双曲线， 则曲线的离心率为，故选C． 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 6、C 【答案解析】 以D为原点，DA，DC，DD1 分别为轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA1D1D所成角的正弦值． 【题目详解】 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则，，， 取平面的法向量为， 设直线EF与平面AA1D1D所成角为θ，则sinθ＝|， 直线与平面所成角的正弦值为. 故选C． 【答案点睛】 本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题． 7、D 【答案解析】 先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项. 【题目详解】 依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 8、A 【答案解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 9、C 【答案解析】 根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案. 【题目详解】 显然直线过抛物线的焦点 如图，过A,M作准线的垂直，垂足分别为C，D，过M作AC的垂线，垂足为E 根据抛物线的定义可知MD=MF，AC=AF，又AM=MN，所以M为AN的中点，所以MD为三角形NAC的中位线，故MD=CE=EA=AC 设MF=t，则MD=t，AF=AC=2t，所以AM=3t，在直角三角形AEM中，ME= 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题. 10、C 【答案解析】 根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出. 【题目详解】 ∵,∴,又,可解得或 设等比数列的公比为,则 当时,, ∴； 当时, ,∴. 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题. 11、B 【答案解析】 利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值． 【题目详解】 数列是公比为的正项等比数列，、满足， 由等比数列的通项公式得，即， ，可得，且、都是正整数， 求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值. 当且时，的最小值为. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题． 12、C 【答案解析】 根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【题目详解】 因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有 . 故选：C 【答案点睛】 本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求导，研究函数单调性，分析，即得解 【题目详解】 由题意得，， 令，解得， 令，解得. 在上递减，在递增． ， 而， 故在区间上的最小值和最大值分别是． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题 14、 【答案解析】 利用余弦定理计算，然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果. 【题目详解】 设 由题可知： 由， ，， 所以 化简可得： 则或，即或 由，所以 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题. 15、1 【答案解析】 作出不等式组表示的平面区域，将直线进行平移，利用的几何意义，可求出目标函数的最大值。 【题目详解】 由，得，作出可行域，如图所示： 平移直线，由图像知，当直线经过点时，截距最小，此时取得最大值。 由 ，解得 ，代入直线，得。 【答案点睛】 本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。 16、 【答案解析】 依题意易得A、B、C、D四点共圆且圆心在x轴上，然后设出圆心，由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标，进一步得到D横坐标，再由计算比值即可. 【题目详解】 因为，所以A、B、C、D四点共圆，直径为，又A、C关于x轴对称， 所以圆心E在x轴上，设圆心E为，则圆的方程为，联立椭圆方程 消y得，解得，故B的横坐标为，又B、D中点是E，所以D的横坐标为， 故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题，考查学生基本计算能力及转化与化归思想，本题关键是求出B、D横坐标，是一道有区分度的压轴填空题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式； （Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得. 【题目详解】 （Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知. 、、成等差数列成等差数列，，