云南省永平县第二中学2023学年高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．是虚数单位，则（ ） A．1 B．2 C． D． 2．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，则（ ） A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥( ) 4．已知集合，，则为( ) A． B． C． D． 5．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A． B． C． D． 6．已知实数满足不等式组，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ） A． B． C． D． 8．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．如图，抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若直线与以为圆心，线段（为坐标原点）长为半径的圆交于，两点，则关于值的说法正确的是（ ） A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不确定 10．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 11．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．某人2018年的家庭总收人为元，各种用途占比如图中的折线图，年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知年的就医费用比年的就医费用增加了元，则该人年的储畜费用为（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是________. 14．已知随机变量，且，则______ 15．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______________． 16．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数,其中,. (1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由. (2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围. 18．（12分）已知矩阵的一个特征值为4，求矩阵A的逆矩阵. 19．（12分）已知A是抛物线E：y2＝2px(p>0)上的一点，以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x＝1于M，N两点. （1）若|MN|＝2，求抛物线E的方程； （2）若0＜p＜1，抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P，Q，点G为PQ的中点，O为坐标原点，求直线OG斜率的取值范围. 20．（12分）已知. （1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值； （2）试讨论函数零点的个数. 21．（12分）在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”． 女生 男生 总计 获奖 不获奖 总计 附表及公式： 其中,． 22．（10分）设实数满足. （1）若，求的取值范围； （2）若，，求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解. 【题目详解】 由. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查复数的除法和模，属于基础题. 2、C 【答案解析】 根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【题目详解】 因为圆心，半径，直线与圆相交，所以 ，解得 所以相交的概率,故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 3、D 【答案解析】 由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论. 【题目详解】 ∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A； 显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B； ∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C； ∴•（）＝﹣2+2＝0，故 ⊥（），故D正确， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题. 4、C 【答案解析】 分别求解出集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【题目详解】 因为集合，， 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 5、D 【答案解析】 试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 6、B 【答案解析】 作出约束条件的可行域，在可行域内求的最小值即为的最小值，作，平移直线即可求解. 【题目详解】 作出实数满足不等式组的可行域，如图（阴影部分） 令，则， 作出，平移直线，当直线经过点时，截距最小， 故， 即的最小值为. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 7、B 【答案解析】 由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解． 【题目详解】 解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线， 又由点P在AM上且满足 ∴P是三角形ABC的重心 ∴ 又∵AM＝1 ∴ ∴ 故选B． 【答案点睛】 判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数． 8、D 【答案解析】 求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【题目详解】 的定义域为，， 当时，，故在单调递减； 不妨设，而，知在单调递减， 从而对任意、，恒有， 即， ，， 令，则，原不等式等价于在单调递减，即， 从而，因为， 所以实数a的取值范围是 故选：D. 【答案点睛】 此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目. 9、A 【答案解析】 利用的坐标为，设直线的方程为，然后联立方程得，最后利用韦达定理求解即可 【题目详解】 据题意，得点的坐标为.设直线的方程为，点，的坐标分别为，.讨论：当时，；当时，据，得，所以，所以. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 10、C 【答案解析】 连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得，再将其用，表示.由M、O、N三点共线可知，其表达式中的系数和，即可求出的值. 【题目详解】 连接AO，由O为BC中点可得， ， 、、三点共线， ， . 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题. 11、D 【答案解析】 试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5. 考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力. 点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 12、A 【答案解析】 根据 2018年的家庭总收人为元，且就医费用占 得到就医费用，再根据年的就医费用比年的就医费用增加了元，得到年的就医费用，然后由年的就医费用占总收人，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人求解. 【题目详解】 因为2018年的家庭总收人为元，且就医费用占 所以就医费用 因为年的就医费用比年的就医费用增加了元， 所以年的就医费用元， 而年的就医费用占总收人 所以2019年的家庭总收人为 而储畜费用占总收人 所以储畜费用： 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 设出两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得的坐标. 【题目详解】 设，由于在抛物线上，所以.由于三角形是等腰直角三角形，，所以.由得，化为，可得，所以，解得，则.所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 14、0.1 【答案解析】 根据原则，可得，简单计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知：随机变量，则期望为 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题. 15、 【答案解析】 过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得， 则，为锐角.故当和抛物线相切时，的值最小. 再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值. 【题目详解】 解：由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得， 则，为锐角. 故当最小时，的值最小. 设切点，由的导数为， 则的斜率为， 求得，可得， ，， . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题. 16、 【答案解析】 由已知可得•4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出. 【题目详解】 ∵⊥，∴•4Sn﹣n（n+3）＝0， ∴Sn，n＝1时，a1＝S1＝1. 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1. ，满足上式，. ∴2（）. ∴数列{}前2020项和为 2（1）＝2（1）. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) 答案