云南省曲靖市第一中学2023学年高三数学第二次模拟考试试题理.doc

曲靖市第一中学2023年届高三第二次模拟考试 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项符合要求.） 1. 已知集合，集合，则=（ ） A． B． C． D． 2. 若复数是纯虚数，则在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 定义运算，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4. 抛物线方程为，一直线与抛物线交于两点，其弦的中点坐标为（1,1），则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 5. 在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A． B． C． D． 6. 若是的充分不必要条件，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8. 已知满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9. 已知点，若点在曲线上运动，则面积的最小值为（ ） A．6 B． C．3 D． 10．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，延长交右支于点，若，，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 11. 已知的值域为,当正数满足时,则的最小值为（ ） A． B． C． D． 12. 已知函数,若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.） 13. 的展开式中的系数为______. 14. 在平行四边形中，，,则的值为_____. 15. 在直三棱柱内有一个与其各面都相切的，同时在三棱柱外有一个外接球.若,，,则球的表面积为______. 16. 在数列中，，，则数列的通项公式______. 三、 解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每 道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本小题满分12分）已知函数 (1) 当时，求函数的值域； (2) 的角的对边分别为且 求边上的高的 最大值. 18.（本小题满分12分）如图，三棱锥中， , (1) 证明：； (2) 求二面角的余弦值． 19.（本小题满分12分）治疗某种慢性病的创新药研发成了当务之急．某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下： 研发费用（百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量（万盒） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 （1）求与的相关系数精确到0.01，并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：时，可用线性回归方程模型拟合）； （2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的数学期望． 附：（1）相关系数 （2），，，． 20.（本小题满分12分）如图所示，设椭圆的左右焦点分别为，离心率是直线上的两个动点，且满足. (1) 若，求的值； (2) 证明：当取最小值时，与共线． 21.（本小题满分12分）设函数，且函数在处的切线与直线平行. (1) 求的值； (2) 若函数，求证：恒成立. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程： （1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点，直线与圆相交于、两点，求的值. 23.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 已知函数，（其中） (1) 求函数的最小值. (2) 若，求证：. 曲靖市第一中学2023年届高三第二次模拟考试 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C B A A D B C D C D A D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.40 14. -3 15. 16. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分12分） 解：(1)= 函数的值域为(6分) (2) 的最大值为(12分) 18.（本小题满分12分） 解：(1)取AB中点O，连结PO，OC. ∵PA＝PB，∴PO⊥AB， ∵PB=AP＝ ∴PO＝，CO＝1 ∴∠POC为直角 ∴PO⊥0C ∴PO⊥平面ABC，∴面PAB⊥面ABC（6分） (2)如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz，则A(1,0,0)，P(0,0，)，C(0,1,0)，可取m＝＝(0,1,0)为平面PAB的一个法向量． 设平面PAC的一个法向量为n＝(l，m，n)． 则·n＝0，·n＝0，其中＝(1,0，－)，＝(－1,1,0)， ∴∴ 不妨取l＝，则n＝(，，1)． cos〈m，n〉＝ ＝＝. ∵C－PA－B为锐二面角， ∴二面角C－PA－B的余弦值为.（12分） 19.（本小题满分12分） 【详解】 解：（1）由题意可知， ， 由公式， ，∴与的关系可用线性回归模型拟合； （2）药品的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为 ，，， 由题意， ， . 20.（本小题满分12分） 解：由e＝，得b＝c＝a，所以焦点F1(－a,0)，F2(a,0)，直线l的方程为x＝a，设M(a，y1)，N(a，y2)， (1)∵||＝||＝2，∴a2＋y＝20，a2＋y＝20，消去y1，y2，得a2＝4，故a＝2，b＝.（6分） (2)|MN|2＝(y1－y2)2＝y＋y－2y1y2≥－2y1y2－2y1y2＝－4y1y2＝6a2. 当且仅当y1＝－y2＝a或y2＝－y1＝a时，|MN|取最小值a， 此时，＋＝(a，y1)＋(a，y2)＝(2a，y1＋y2)＝(2a,0)＝2，故＋与共线.（12分） 21.（本小题满分12分） 解：(1) ，解得.(4分) (2) 得，变形得 令函数 令解得 当时，时. 函数在上单调递增，在上单调递减 而函数在区间上单调递增 即 即 恒成立（12分） 22．（本小题满分10分） 解：（1）消去参数，得直线的普通方程为， 将两边同乘以得，， ∴圆的直角坐标方程为； （2）经检验点在直线上，可转化为①， 将①式代入圆的直角坐标方程为得， 化简得， 设是方程的两根，则，， ∵，∴与同号， 由的几何意义得. 23.（本小题满分10分） 解: (1) (2)证明：为要证 只需证， 即证， 也就是，即证，即证， ∵， ∴，故即有， 又 由可得成立， ∴ 所求不等式成立． - 11 -