2023学年湖南省常德市重点中学高考数学倒计时模拟卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为锐角，且，则等于（ ） A． B． C． D． 2．设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是（ ） A．③④ B．①③ C．②③ D．①② 3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A． B． C． D． 4．设，则（ ） A． B． C． D． 5．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A．14种 B．15种 C．16种 D．18种 6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） A． B．6 C． D． 7．已知非零向量满足，若夹角的余弦值为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 8．世纪产生了著名的“”猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输入正整数的值为，则输出的的值是（ ） A． B． C． D． 9．已知复数，则的虚部为（ ） A．－1 B． C．1 D． 10．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的； 小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的； 小金说：“兴国之路”不是我制作的， 若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A．小明 B．小红 C．小金 D．小金或小明 11．已知复数是纯虚数，其中是实数，则等于（ ） A． B． C． D． 12．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________． 14．已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________. 15．设等比数列的前项和为，若，，则__________． 16．已知函数图象上一点处的切线方程为，则_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面. （1）求证：； （2）若平面平面，二面角平面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（12分）为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在市与市之间建一条直达公路，中间设有至少8个的偶数个十字路口，记为，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概率均为. （1）现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示： A市居民 B市居民 喜欢杨树 300 200 喜欢木棉树 250 250 是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性； （2）若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有个路口种植杨树，求的分布列以及数学期望； （3）在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为，求证：. 附： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19．（12分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面. （1）求线段的长； （2）求二面角的余弦值. 20．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知：，：，：. （1）求与的极坐标方程 （2）若与交于点A，与交于点B，，求的最大值. 21．（12分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°. （1）求△ABC的面积； （2）若D，E是BC边上的三等分点，求. 22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程； （2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 由可得，再利用计算即可. 【题目详解】 因为，，所以， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 2、C 【答案解析】 ①举反例，如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时. 【题目详解】 ①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【答案点睛】 此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 3、B 【答案解析】 求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4、D 【答案解析】 结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案. 【题目详解】 由,即, 又,即, ,即, 所以. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 5、D 【答案解析】 采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起 【题目详解】 首先将黑球和白球排列好，再插入红球. 情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种. 故选：D 【答案点睛】 本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 6、D 【答案解析】 用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得. 【题目详解】 执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为. 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易. 7、D 【答案解析】 根据向量垂直则数量积为零，结合以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【题目详解】 依题意，得，即. 将代入可得，， 解得（舍去）. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题. 8、C 【答案解析】 列出循环的每一步，可得出输出的的值. 【题目详解】 ，输入，，不成立，是偶数成立，则； ，不成立，是偶数成立，则； ，不成立，是偶数成立，则； ，不成立，是偶数不成立，则； ，不成立，是偶数成立，则； ，不成立，是偶数成立，则； ，不成立，是偶数成立，则； ，不成立，是偶数成立，则； ，成立，跳出循环，输出的值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 9、A 【答案解析】 分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【题目详解】 ，故的虚部为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题. 10、B 【答案解析】 将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【题目详解】 依题意，三个人制作的所有情况如下所示： 1 2 3 4 5 6 鸿福齐天 小明 小明 小红 小红 小金 小金 国富民强 小红 小金 小金 小明 小红 小明 兴国之路 小金 小红 小明 小金 小明 小红 若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题. 11、A 【答案解析】 对复数进行化简，由于为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到的值，从而得到复数. 【题目详解】 因为为纯虚数，所以，得 所以. 故选A项 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题. 12、D 【答案解析】 由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直线的斜率. 【题目详解】 双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2， 设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2① 由，得 ∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立， ∴y1+y2＝②，y1y2＝③， 联立①②得，联立①③得， ，即：，，解得：，直线的斜率为， 故选D． 【答案点睛】 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量