2023年新课标高考数学理科试题分类精编25创新题25创新题高中数学.docx

202323年-2023年新课标高考数学〔理科〕试题分类精编 第25局部-创新题 一.选择题 1.(2023年陕西理10).某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]〔[x]表示不大于x的最大整数〕可以表示为【 】 (A) y= (B) y= (C) y= (D) y= 【答案】B【解析】〔方法一〕当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时.当除以的余数为时，由题设知，且易验证知此时.故综上知，必有.应选. 〔方法二〕依题意知：假设，那么，由此检验知选项错误；假设，那么，由此检验知选项错误.故由排除法知，此题应选. 2.( 2023年山东理12)定义平面向量之间的一种运算“〞如下，对任意的，，令，下面说法错误的选项是〔 〕 A.假设与共线，那么 B. C.对任意的，有 D. 【答案】B【解析】假设与共线，那么有，故A正确；因为，而，所以有，应选项B错误，应选B。 【命题意图】此题在平面向量的根底上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的根底知识以及分析问题、解决问题的能力。 二.填空题 1.〔2023年北京理14〕如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。设顶点P〔，y〕的轨迹方程是，那么的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图像与轴所围区域的面积为 。 说明：“正方形PABC沿轴滚动〞包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿轴负方向滚动。 解析：不难想象，从某一个顶点〔比方A〕落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下： P A B C P P P 因此不难算出这块的面积为 2.(2023年上海理10)某海域内有一孤岛，岛四周的海平面〔视为平面〕上有一浅水区〔含边界〕，其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域〔船只的大小忽略不计〕，在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是 　　　　　　　 . 【答案】 【解析】依题意， ； 三.解答题 1.〔2023年北京理20〕〔本小题共13分〕 集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 〔Ⅰ〕证明：，且; 〔Ⅱ〕证明：三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为. 证明：≤. 【分析】：这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下。 题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1， 也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1， 第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了。 第一问，因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合的要求。然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1， 每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差。 第二问，先比拟A和B有几个不同〔因为距离就是不同的有几个〕，然后比拟A和C有几个不同，这两者重复的〔就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同〕去掉两次〔因为在前两次比拟中各计算了一次〕，剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：，从而三者不可能同为奇数。 第三问，首先理解P中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位。然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来一切就水到渠成了。 此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写标准。 解：〔1〕设 因，故，即 又当时，有； 当时，有故 〔2〕设 记 记，由第一问可知： 即中1的个数为k，中1的个数为l， 设t是使成立的i的个数，那么有， 由此可知，不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数。〔3〕显然P中会产生个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和。分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了个1， 那么自然有个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为， 那么n个位置的总和即 2.(2023年广东理21)〔本小题总分值14分〕 设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为. 当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立. 〔2〕当点C(x, y) 同时满足①P+P= P，②P= P时，点是线段的中点. ，即存在点满足条件。 3.(2023年上海理22)〔此题总分值18分〕 此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值10分。 假设实数、、满足，那么称比远离. 〔1〕假设比1远离0，求的取值范围； 〔2〕对任意两个不相等的正数、，证明：比远离； 〔3〕函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的根本性质〔结论不要求证明〕. 解析：(1) ； (2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，， 因为， 所以，即a3+b3比a2b+ab2远离； (3) ， 性质：1°f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2°f(x)是周期函数，最小正周期， 3°函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kÎZ， 4°函数f(x)的值域为． 4.(2023年江苏23)〔本小题总分值10分〕 △ABC的三边长都是有理数。 （1） 求证cosA是有理数； （2） 求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。 [解析] 此题主要考查余弦定理、数学归纳法等根底知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。总分值10分。 〔方法一〕〔1〕证明：设三边长分别为，，∵是有理数， 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， ∴必为有理数，∴cosA是有理数。 〔2〕①当时，显然cosA是有理数； 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数； ②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。 当时，， ， ， 解得： ∵cosA，，均是有理数，∴是有理数， ∴是有理数。即当时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 〔方法二〕证明：〔1〕由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。 〔2〕用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。 ①当时，由〔1〕知是有理数，从而有也是有理数。 ②假设当时，和都是有理数。 当时，由， ， 及①和归纳假设，知和都是有理数。 即当时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。 5.(2023年江苏23) 【必做题】．请先阅读： 在等式〔〕的两边求导，得：， 由求导法那么，得，化简得等式：． 〔1〕利用上题的想法〔或其他方法〕，结合等式 〔，正整数〕，证明：． 〔2〕对于正整数，求证： 〔i〕； 〔ii〕； 〔iii〕． 证明：〔1〕在等式两边对求导得 移项得 〔x〕 〔2〕〔i〕在〔x〕式中，令，整理得 所以 〔ii〕由〔1〕知 两边对求导，得 在上式中，令, 即 ，亦即 〔1〕 又由〔i〕知 〔2〕由〔1〕+〔2〕得 〔iii〕将等式两边在上对积分 由微积分根本定理，得所以