2023学年湖南省衡阳市衡阳县五中高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（ ） A． B． C．1 D．2 3．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）． A． B． C．1 D． 6．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ） A． B． C． D． 7．已知复数为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A．2 B． C．4 D． 8．复数满足，则复数等于（） A． B． C．2 D．-2 9．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ） A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强 10．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，，则的极大值点为( ) A． B． C． D． 12．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数，若恒成立，则的取值范围是___________. 14．已知向量，且，则___________. 15．已知实数满约束条件，则的最大值为___________. 16．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知，其中． （1）当时，设函数，求函数的极值． （2）若函数在区间上递增，求的取值范围； （3）证明：． 18．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求和的极坐标方程； （2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围. 19．（12分）已知，，不等式恒成立. （1）求证: （2）求证:. 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程； （2）设和交点的交点为，求 的面积． 21．（12分）设函数， （1）当，，求不等式的解集； （2）已知，，的最小值为1，求证：. 22．（10分）已知直线与抛物线交于两点. （1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率； （2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【题目详解】 将函数的图象向左平移个单位， 得到， 此时与函数的图象重合， 则，即，， 当时，取得最小值为， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 2、A 【答案解析】 根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【题目详解】 由于向量，，且，所以解得. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题. 3、A 【答案解析】 是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得． 【题目详解】 由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是， ∴的最小值是． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标． 4、B 【答案解析】 可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可． 【题目详解】 ，，则，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 5、B 【答案解析】 首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【题目详解】 解：根据三视图还原几何体如图所示， 所以，该四棱锥体的最长的棱长为． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 6、B 【答案解析】 根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【题目详解】 令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 7、A 【答案解析】 对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2. 【题目详解】 因为，所以z 的虚部为2. 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意. 8、B 【答案解析】 通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可. 【题目详解】 复数满足， ∴， 故选B. 【答案点睛】 本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题． 9、D 【答案解析】 根据所给的雷达图逐个选项分析即可. 【题目详解】 对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分， 故甲的数据分析素养优于乙，故A正确； 对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分， 故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确； 对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为 ， 乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确； 对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误； 故选：D 【答案点睛】 本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题. 10、D 【答案解析】 把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率． 【题目详解】 3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为． 故选：D. 【答案点睛】 本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率． 11、A 【答案解析】 求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可. 【题目详解】 因为， 故可得， 令，因为， 故可得或， 则在区间单调递增， 在单调递减，在单调递增， 故的极大值点为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题. 12、D 【答案解析】 设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【题目详解】 设圆柱的底面半径为,则其母线长为, 因为圆柱的表面积公式为， 所以,解得, 因为圆柱的体积公式为, 所以, 由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的， 所以所求圆柱内切球的体积为 . 故选:D 【答案点睛】 本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案。 【题目详解】 因为，所以，因为，所以. 当，即时，，则在上单调递增，从而，故符合题意； 当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得. 令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意.综上，的取值范围是. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键. 14、 【答案解析】 由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案. 【题目详解】 因为，所以，解得. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题. 15、8 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案. 【题目详解】 根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域. 又目标函数表示直线在轴上的截距， 由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 16、 【答案解析】 由圆柱外接球的性质，即可求得结果. 【题目详解】 解：由于圆柱的高和球半径均为2，,则球心到圆柱底面的距离为1， 设圆柱底面半径为，由已知有， ∴， 即圆柱的底面半径为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）极大值，无极小值；（2）．（3）见解析 【答案解析】 （1）先求导，根据导数和函数极值的关系即可求出； （2）先求导，再函数在区间上递增，分离参数，构造函数，求出函数的最值，问题得以解决； （3）取得到，取，可得 ，累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明. 【题目详解】 解：（1）当时，设函数，则 令，解得 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以当时，函数取得极大值，即极大值为，无极小值； （2）因为， 所以， 因为在区间上递增， 所以在上恒成立， 所以在区间上恒成立． 当时，在区间上恒成立， 当时，， 设，则在区间上恒成立． 所以在单调递增，则， 所以，即 综上所述． （3）由（2）可知当时，函数在区间上递增， 所以，即， 取，则 ． 所以 所以 【答案点睛】 此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题，以及不等式的证明，构造函数是关键，属于较难题. 18、（1）；（2） 【答案解析】 （1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化； （2）利用极坐标方程将转化为三角函数求解即可. 【题目详解】 （1）因为，所以的普通方程为， 又，，， 的极坐标方程为， 的方程即为，对应极坐标方程为. （2）由己知设，，则，， 所以， 又，， 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值. 所以，的取值范围为. 【答案点睛】 本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极