上海华东师大三附中2023学年高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，有下列说法： （1）四面体EBCD的体积有最大值和最小值； （2）存在某个位置，使得； （3）设二面角的平面角为，则； （4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆. 其中，正确说法的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设为锐角，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）． A． B． C． D． 5．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角. 由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代 公元元年 公元前2000年 公元前4000年 公元前6000年 公元前8000年 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年 6．设是虚数单位，复数（　　） A． B． C． D． 7．的展开式中的常数项为( ) A．－60 B．240 C．－80 D．180 8．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（ ） A． B． C．2 D．﹣2 9．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ） A．12个月的PMI值不低于50%的频率为 B．12个月的PMI值的平均值低于50% C．12个月的PMI值的众数为49.4% D．12个月的PMI值的中位数为50.3% 10．已知向量，是单位向量，若，则（ ） A． B． C． D． 11．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（ ） A． B．0 C．1 D． 12．已知集合，，则集合子集的个数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图,已知，，为的中点，为以为直径的圆上一动点，则的最小值是_____． 14．数据的标准差为_____． 15．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________. 16．在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，则r的取值范围是________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图所示，在三棱柱中，为等边三角形，，，平面，是线段上靠近的三等分点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18．（12分）已知数列的前项和为，且点在函数的图像上； （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足：，，求的通项公式； （3）在第（2）问的条件下，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； 19．（12分）如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,. （1）求证:平面平面; （2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由. 20．（12分）已知 （1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围； （2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明． 21．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 22．（10分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点． （1）证明：点始终在直线上且； （2）求四边形的面积的最小值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小， ∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确； 对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确； 对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ， 直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π）， ∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确； 对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：dP﹣BC， 因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确． 故选：C． 点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 2、D 【答案解析】 用诱导公式和二倍角公式计算． 【题目详解】 ． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 3、C 【答案解析】 试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得 ，故输入的实数值的个数为1． 考点：程序框图． 4、A 【答案解析】 由平面向量基本定理，化简得，所以，即可求解，得到答案． 【题目详解】 由平面向量基本定理，化简 ，所以，即， 故选A． 【答案点睛】 本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题． 5、D 【答案解析】 先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【题目详解】 解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为， 则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形： 则，， ． ， 估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年． 故选：． 【答案点睛】 本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题． 6、D 【答案解析】 利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案． 【题目详解】 由题意，复数，故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 7、D 【答案解析】 求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和项，再求和即可得出答案. 【题目详解】 由题意，中常数项为， 中项为， 所以的展开式中的常数项为： . 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题. 8、D 【答案解析】 化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解. 【题目详解】 因为z＝（1+2i）（1+ai）=， 又因为z∈R， 所以， 解得a＝-2. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9、D 【答案解析】 根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【题目详解】 对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确； 对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确； 对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，； 对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误 故选：D. 【答案点睛】 本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 10、C 【答案解析】 设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【题目详解】 设，， 是单位向量，, ，， 联立方程解得：或 当时，； 当时，； 综上所述：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况. 11、A 【答案解析】 先将函数解析式化简为，结合题意可求得切点及其范围，根据导数几何意义，即可求得的值. 【题目详解】 函数 即 直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，， 因为， 故， 所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 12、B 【答案解析】 首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得. 【题目详解】 解：，， ， 子集的个数为. 故选：. 【答案点睛】 考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 建立合适的直角坐标系,求出相关点的坐标,进而可得的坐标表示,利用平面向量数量积的坐标表示求出的表达式,求出其最小值即可. 【题目详解】 建立直角坐标系如图所示： 则点,,, 设点, 所以, 由平面向量数量积的坐标表示可得, ,其中, 因为, 所以的最小值为. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标表示和利用辅助角公式求最值;考查数形结合思想和转化与化归能力、运算求解能力;建立直角坐标系,把表示为关于角的三角函数,利用辅助角公式求最值是求解本题的关键;属于中档题. 14、 【答案解析】 先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【题目详解】 解：样本的平均数, 这组数据的方差是 标准差, 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 15、2 【答案解析】 根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率. 【题目详解】 为