2023年高考数学压轴题跟踪演练系列六份.docx

江苏省备战2023高考数学――压轴题跟踪演练系列一 ------------------------------------------------------------------------------------- 1．（12分）抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. （Ⅰ）求这三条曲线的方程； （Ⅱ）动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？假设存在，求出的方程；假设不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得 ………………………………………………（1分） 由题意知椭圆、双曲线的焦点为…………………（2分） 对于椭圆， ………………………………（4分） 对于双曲线， ………………………………（6分） （Ⅱ）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为 令………………………………………………（7分） …………（12分） 2．（14分）正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）假设，问是否存在，使成立，假设存在，求出值；假设不存在，说明理由； （Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围. 解：（Ⅰ）将点代入中得 …………………………………………（4分） （Ⅱ）………………………………（5分） ……………………（8分） （Ⅲ）由 ………………………………（14分） 3.（本小题总分值12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C的方程; (2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点, 延长线段ON交C于点E. 求证: 的充要条件是. 解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分) 又∴. 所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分) (2)设点, , 点N的坐标为, ㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分) ㈡设直线l: 由消去x, 得………………① ∴………………(6分) ∴, ∴点N的坐标为.………………(8分) ①假设, 坐标为, 那么点E的为, 由点E在曲线C上, 得, 即 ∴舍去). 由方程①得 又 ∴.………………(10分) ②假设, 由①得∴ ∴点N的坐标为, 射线ON方程为: , 由 解得 ∴点E的坐标为 ∴. 综上, 的充要条件是.………………(12分) 4.（本小题总分值14分）函数. (1) 试证函数的图象关于点对称; (2) 假设数列的通项公式为, 求数列的前m项和 (3) 设数列满足: , . 设. 假设(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值. 解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为. 由 得 所以, 点P的坐标为P.………………(2分) 由点在函数的图象上, 得. ∵ ∴点P在函数的图象上. ∴函数的图象关于点对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, , 所以, 即………………(6分) 由, ……………… ① 得 ………………② 由①＋②, 得 ∴………………(8分) (3) ∵, ………………③ ∴对任意的. ………………④ 由③、④, 得即. ∴.……………(10分) ∵∴数列是单调递增数列. ∴关于n递增. 当, 且时, . ∵ ∴………………(12分) ∴即∴ ∴m的最大值为6. ……………(14分) 5．（12分）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点. （1） 当时，求的面积； （2） 当时，求的大小； （3） 求的最大值. 解：（1） （2）因， 那么 （1） 设 ， 当时， 6．（14分）数列中，，当时，其前项和满足， （2） 求的表达式及的值； （3） 求数列的通项公式； （4） 设，求证：当且时，. 解：（1） 所以是等差数列.那么. . （2）当时，， 综上，. （3）令，当时，有 （1） 法1：等价于求证. 当时，令 ， 那么在递增. 又， 所以即. 法（2） （2） （3） 因，所以 由（1）（3）（4）知. 法3：令，那么 所以 因那么， 所以 （5） 由（1）（2）（5）知 7． (本小题总分值14分) 第21题 设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点. (1) 证明：无论P点在什么位置，总有||2 = |·| ( O为坐标原点)； (2) 假设以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围； 解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y = (x – a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), ∴|·| =|+| =. 4分 设 = ( m, n ) , 那么由双曲线方程与OP方程联立解得: m2 =, n2 = , ∴ ||2 = :m2 + n2 = + = , ∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 . ∴无论P点在什么位置，总有||2 = |·| . 4分 （2）由条件得：= 4ab, 2分 即k2 = > 0 , ∴ 4b > a, 得e > 2分