2023学年浙江省新高考适应性考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（ ） A． B． C．1 D．3 2．函数的定义域为（ ） A．或 B．或 C． D． 3．若为纯虚数，则z＝（ ） A． B．6i C． D．20 4．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A． B． C． D． 5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ） A．45 B．50 C．55 D．60 6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ） A． B． C． D． 7．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( ) A．至少有一个样本点落在回归直线上 B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1 C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差 D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 8．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知函数，若恒成立，则满足条件的的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．若（是虚数单位），则的值为（ ） A．3 B．5 C． D． 11．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（ ） A．4 B．6 C．3 D．8 12．已知集合A，则集合（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______． 14．设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是_____ 15．已知，椭圆的方程为，双曲线方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为________. 16．已知数列的前项和且，设，则的值等于_______________ . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）当时. ①求函数在处的切线方程； ②定义其中，求； （2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围. 18．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若的面积为，周长为8，求b. 20．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围. 21．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点． （1）证明：点始终在直线上且； （2）求四边形的面积的最小值． 22．（10分）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值. 【题目详解】 由复数的除法运算化简可得 ， 因为是纯虚数，所以， ∴， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题. 2、A 【答案解析】 根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【题目详解】 由题意可得，解得或. 因此，函数的定义域为或. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 3、C 【答案解析】 根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【题目详解】 ∵为纯虚数， ∴且 得，此时 故选：C. 【答案点睛】 本题考查复数的概念与运算，属基础题. 4、A 【答案解析】 由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【题目详解】 椭圆的离心率：，（ c为半焦距; a为长半轴）， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r，n，如图： 则 所以,, 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 5、D 【答案解析】 根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数. 【题目详解】 根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题 6、D 【答案解析】 由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【题目详解】 由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为, 所以所求概率, 故选:D 【答案点睛】 本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题. 7、D 【答案解析】 对每一个选项逐一分析判断得解. 【题目详解】 回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误； 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误； 若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误； 相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确． 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8、D 【答案解析】 先用公差表示出，结合等比数列求出. 【题目详解】 ,因为成等比数列，所以，解得. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键. 9、C 【答案解析】 由不等式恒成立问题分类讨论：①当，②当，③当，考查方程的解的个数，综合①②③得解． 【题目详解】 ①当时，，满足题意， ②当时，，，，，故不恒成立， ③当时，设，， 令，得，，得， 下面考查方程的解的个数， 设（a），则（a） 由导数的应用可得： （a）在为减函数，在，为增函数， 则（a）， 即有一解， 又，均为增函数， 所以存在1个使得成立， 综合①②③得：满足条件的的个数是2个， 故选：． 【答案点睛】 本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型. 10、D 【答案解析】 直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【题目详解】 （是虚数单位） 可得 解得 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力. 11、A 【答案解析】 根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值. 【题目详解】 函数的定义域为，且， 则； 任取，且，则， 故， 令，，则， 即， 故函数在上单调递增， 故， 令，， 故， 故函数在上的最大值为4. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题. 12、A 【答案解析】 化简集合,，按交集定义，即可求解. 【题目详解】 集合， ，则. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【题目详解】 取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，，过做于点，易知四边形为矩形，连接，，设，.连接，则，，三点共线，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以. 【答案点睛】 本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半. 14、 【答案解析】 先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解. 【题目详解】 因为，所以，令得， 因为函数有大于0的极值点，所以，即. 【答案点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想. 15、 【答案解析】 求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出关系，即可求解双曲线的渐近线方程. 【题目详解】 ，椭圆的方程为， 的离心率为：， 双曲线方程为， 的离心率：， 与的离心率之积为， ， ， 的渐近线方程为：，即. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题. 16、7 【答案解析】 根据题意，当时，，可得，进而得数列为等比数列，再计算可得，进而可得结论. 【题目详解】 由题意，当时，，又，解得， 当时，由， 所以，，即， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 又，， 所以， . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了数列递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，计算得是解决本题的关键，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）①；②8079；（2）. 【答案解析】 （1）①时，，，利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程． ②由，得，由此能求出的值． （2）根据若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，得到函数在区间，上不单调，从而求得的取值范围． 【题目详解】 （1）①∵， ∴ ∴，∴，∵， 所以切线方程为. ②， . 令