云南省曲靖市沾益区第四中学2023学年高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A．40 B．60 C．80 D．100 2．下列函数中，图象关于轴对称的为（ ） A． B．， C． D． 3．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为 A． B． C． D． 7．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ） A． B． C． D． 8．若复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 9．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．下列结论中正确的个数是（ ） ①已知函数是一次函数，若数列通项公式为，则该数列是等差数列； ②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则； ③在中，“”是“”的必要不充分条件； ④若，则的最大值为2. A．1 B．2 C．3 D．0 11．已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 12．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ） A．5 B．10 C．15 D．20 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在的二项展开式中，所有项的系数的和为________ 14．已知函数，则的值为 ____ 15．已知，若的展开式中的系数比x的系数大30，则______． 16．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）三棱柱中，平面平面，，点为棱的中点，点为线段上的动点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求二面角的正切值. 18．（12分）如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱中，P是侧棱上的一点，. （1）若，求直线AP与平面所成角； （2）在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的实数m，都有，并证明你的结论. 19．（12分）已知函数.其中是自然对数的底数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点. 为椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接分别交椭圆于两点. ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若，求的值； ⑶设直线， 的斜率分别为， ，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21．（12分）已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，，求数列的前项和. 22．（10分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【题目详解】 由题意，成绩X近似服从正态分布， 则正态分布曲线的对称轴为， 根据正态分布曲线的对称性，求得， 所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人， 故选:. 【答案点睛】 本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易. 2、D 【答案解析】 图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【题目详解】 图象关于轴对称的函数为偶函数； A中，，，故为奇函数； B中，的定义域为， 不关于原点对称，故为非奇非偶函数； C中，由正弦函数性质可知，为奇函数； D中，且，，故为偶函数. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法: (1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数 (2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称． 3、D 【答案解析】 求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可. 【题目详解】 设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2， 则 =2，化简得. ∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1， ∴ ，解得， ∴椭圆的离心率为． 故选D． 【答案点睛】 本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 4、C 【答案解析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值. 【题目详解】 因为，且， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果. 5、C 【答案解析】 根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解. 【题目详解】 因为平面向量，满足，且， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以与的夹角为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题. 6、D 【答案解析】 由题可得函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数，排除选项B； 又，，所以排除选项A、C，故选D． 7、C 【答案解析】 根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值. 【题目详解】 不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 8、B 【答案解析】 根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出. 【题目详解】 , , 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 9、C 【答案解析】 根据直线过定点，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【题目详解】 由题可知：直线过定点 且在是关于对称 如图 通过图像可知：直线与最多有9个交点 同时点左、右边各四个交点关于对称 所以 故选：C 【答案点睛】 本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数的性质，属难题. 10、B 【答案解析】 根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可； 【题目详解】 解：①已知函数是一次函数，若数列的通项公式为， 可得为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确； ②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等，则与可以相交或平行，故②错误； ③在中，，而余弦函数在区间上单调递减，故 “”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要条件，故③错误； ④若，则，所以，当且仅当时取等号，故④正确； 综上可得正确的有①④共2个； 故选：B 【答案点睛】 本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 11、B 【答案解析】 先利用对称得，根据可得，由几何性质可得，即，从而解得渐近线方程. 【题目详解】 如图所示： 由对称性可得：为的中点，且， 所以， 因为，所以， 故而由几何性质可得，即， 故渐近线方程为， 故选B. 【答案点睛】 本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出是解题的关键，属于中档题. 12、C 【答案解析】 利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可 【题目详解】 令，则，，∴，，∴. 【答案点睛】 本题考查等差数列的求和问题，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 设，令，的值即为所有项的系数之和。 【题目详解】 设，令， 所有项的系数的和为。 【答案点睛】 本题主要考查二项式展开式所有项的系数的和的求法─赋值法。一般地， 对于 ，展开式各项系数之和为，注意与“二项式系数之和”区分。 14、4 【答案解析】 根据的正负值，代入对应的函数解析式求解即可. 【题目详解】 解： . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查分段函数函数值的求解，是基础题. 15、2 【答案解析】 利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得的值． 【题目详解】 展开式通项为： 且的展开式中的系数比的系数大 ，即： 解得：（舍去）或 本题正确结果： 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 16、156 【答案解析】 先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数. 【题目详解】 安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有种， 刘老师和王老师分配到一个班，共有种， 所以种. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）可证面，从而可得. （2）可证点为线段的三等分点，再过作于，过作，垂足为，则为二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如图所示的空间直角坐标系，利用两个平面的法向量来计算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函数的基本关系式可求. 【题目详解】 证明：（1）因为为中点，所以. 因为平面平面，平