上海市育才中学2023学年届高三数学下学期三模考试试题含解析.doc

上海市育才中学2023年届高三数学下学期三模考试试题（含解析） 一. 填空题 1.不等式的解为 。 【答案】或 【解析】 【详解】由，可得 即 所以不等式的解为或 2.已知直线垂直于平面直角坐标系中的轴，则的倾斜角为________ 【答案】0. 【解析】 【分析】 根据直线垂直于轴，可得出直线的倾斜角. 【详解】由于直线垂直于平面直角坐标系中的轴，所以，直线的倾斜角为，故答案为：. 【点睛】本题考查直线倾斜角的概念，在直线的倾斜角中，规定与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为，意在考查学生对于倾斜角概念的理解，属于基础题. 3.函数反函数是________ 【答案】. 【解析】 分析】 由解出，可得出所求函数的反函数. 【详解】由，得，则有，， 因此，函数的反函数为， 故答案为：. 【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题. 4.若角的终边经过点，则的值为________ 【答案】. 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题. 5.方程的解为 . 【答案】2 【解析】 【分析】 根据求行列式的方法化简得，这是一个关于的二次方程，将看成整体进行求解即可. 【详解】方程， 等价于， 即， 化为 或（舍去）， ，故答案为2. 【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 6.由参数方程为参数，所表示的曲线的右焦点坐标为________ 【答案】. 【解析】 【分析】 将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标. 【详解】，由，得，所以，， 即曲线的普通方程为，该曲线为双曲线，其右焦点坐标为， 故答案为：. 【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力，属于基础题. 7.平面直角坐标系内有点，，，，将四边形绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为________ 【答案】. 【解析】 【分析】 利用图形判断出四边形是矩形，且边位于直线上，旋转后形成圆柱，然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积. 【详解】如下图所示，四边形是矩形，且边位于直线上，且，， 将四边形绕着直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为，高为，因此，该几何体的体积为，故答案为：. 【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题. 8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交大和浙大不同时被选中的概率为________ 【答案】. 【解析】 【分析】 先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率，再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率. 【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”， 由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为， 由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为，故答案为：. 【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 9.已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是________ 【答案】. 【解析】 【分析】 由函数在上单调递增，且结合题中条件得出函数在上单调递减，且，于此列出不等式组求出实数的取值范围. 【详解】由题意知，函数在上单调递增，且， 由于函数的最大值为， 则函数在上单调递减且， 则有，即，解得， 因此，实数的取值范围是，故答案为：. 【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10.对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是________ 【答案】. 【解析】 【分析】 利用椭圆的定义，判断出在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出的取值范围. 【详解】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆， 则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于， 所以，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部， 的取值范围是，故答案为：. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理解，考查数形结合思想，属于中等题. 11.等差数列中，，，（），则数列的公差为________ 【答案】. 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为，由，可计算出的值，由此可得出数列的公差. 【详解】设等差数列的公差为，则， 又，，则， ，即数列的公差为，故答案为：. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题. 12.已知平面直角坐标系中两点、，为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________ 【答案】20. 【解析】 【分析】 将圆方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得 ，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值. 【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为， ， 由于圆内接四边形中，正方形的面积最大， 所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为， 所以，，故答案为：. 【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用. 二. 选择题 13.已知非空集合满足，给出以下四个命题： ①若任取,则是必然事件 ②若,则是不可能事件 ③若任取,则是随机事件 ④若,则是必然事件 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由集合的包含关系可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数 【详解】非空集合、满足，可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，①若任取，则是必然事件，故①正确；②若，则是可能事件，故②不正确；③若任取，则是随机事件，故③正确；④若，则是必然事件，故④正确．其中正确的个数为3，故选C. 【点睛】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题. 14.已知数列为等差数列，数列满足，，，.，则数列的公差 d为（ ）. A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】注意到 ， 则 从而，d=4．选D. 15.正方体中, 为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可． 【详解】由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D. 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查． 16.如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用变换的定义，推导出的向量坐标，求出、的表达式，然后进行验算即可. 【详解】，经过一次变换后得到， 点，，，A选项正确； 由题意知 所以， ， ，B选项正确； ， C选项正确； ， D选项错误.故选：D. 【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实质是考查向量的坐标运算，难度较大. 三. 解答题 17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆，OA与母线所成角为. （1）试用r表示圆柱的表面积S； （2）若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离. 【答案】（1）（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用与母线所成的角为求出，计算出圆柱的侧面积和底面积，即可得出圆柱的表面积； （2）由圆柱的体积求出与的值，再利用等体积法计算出点到平面的距离. 【详解】（1）由于与圆柱的母线成的角，则，， 所以，圆柱的表面积为； （2），，，设点到平面的距离为， 由题意知，，， ，， 所以，，易得的面积为， 由，，， 即点到平面的距离为. 【点睛】本题考查圆柱表面积的计算，考查点到平面距离的计算，要根据题中的角转化为边长关系进行计算，在计算点到平面的距离时，一般利用等体积法进行转化求解，考查计算能力，属于中等题. 18.若的图像的最高点都在直线 上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为. (1)求和的值： (2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积. 【答案】(1) . (2) . 【解析】 【分析】 （1）利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得和的值；（2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求． 【详解】（1） 由题意知,函数的周期为,且最大值为,所以. (2) 是函数图像的一个对称中心,所以,又因为的内角,所以， 在中,设外接圆半径为,由得 所以的外接圆的面积 【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题． 19.已知函数，其中，且，且 （1）若，试判断的奇偶性； （2）若，，，证明的图像是轴对称图形，并求出对称轴. 【答案】(1)见解析（2）函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线． 【解析】 【分析】 （1）由得出，于是得出，利用偶函数的定义得出，利用奇函数的定义得出，于是得出当时，函数为非奇非偶函数； （2）先得出，并设函数图象的对称轴为直线，利用定义，列等式求出的值，即可而出函数图象的对称轴方程. 【详解】（1）由已知，，于是，则， 若是偶函数，则，即， 所以对任意实数恒成立，所以． 若是奇函数，则，即， 所以对任意实数恒成立，所以． 综上，当时，是偶函数； 当时，奇函数，当，既不是奇函数也不是偶函数； （2），若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，即对任意实数，恒成立， ，化简得， 因为上式对任意成立，所以，，． 所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线． 【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，考查函数对称