上海市宝山区2023学年高三数学上学期教学质量监测一模试题.doc

上海市宝山区2023年届高三数学上学期教学质量监测（一模）试题 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若（是虚数单位），则 2. 已知，则 3. 函数（）的反函数是 4. 年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一 场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有 场球赛 5. 以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 6. 在的展开式中，的系数为 7. 不等式的解集是 8. 已知方程（）的两个虚根为、，若，则 9. 已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相 交所得的弦长为 10. 有一个空心钢球，质量为142，测得外直径为5，则它的内直径是 （钢的密度为7. 9，精确到0.1） 11. 已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则 12. 已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知平面、、两两垂直，直线、、满足，，，则直线、、不可能满足的是（ ） A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面 16. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：， ，下列判断错误的是（ ） A. 当，时，辅助角 B. 当，时，辅助角 C. 当，时，辅助角 D. 当，时，辅助角 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 在直四棱柱中，底面四边形ABCD是边 长为2的菱形，，，E是AB的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线和AD所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若在区间上有两个解、，求a的取值范围及的值. 19. 一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%. （1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时） （2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时） 20. 已知直线与椭圆相交于A、B两点，其中A在第一 象限，M是椭圆上一点. （1）记、是椭圆的左右焦点，若直线AB过，当到的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M的横坐标； （2）若点M、A关于y轴对称，当的面积最大时，求直线MB的方程； （3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：为定值. 21. 已知数列满足，（是自然对数的底数），且，令 （）. （1）证明：； （2）证明：是等比数列，且的通项公式是； （3）是否存在常数t，对任意自然数均有成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由. - 5 -