2023年高考数学复习必备随机事件的概率与古典概型高中数学.docx

2023年高考数学复习必备精品随机事件的概率与古典概型 一．【课标要求】 1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别； 2．通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式； 3．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的根本领件数及事件发生的概率。 二．【命题走向】 本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性[来源:Z.xx.k.Com] 预测2023年高考： 〔1〕对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现； 〔2〕对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主 三．【要点精讲】 1．随机事件的概念 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 〔1〕随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 〔2〕必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；[来源:学+科+网Z+X+X+K] 〔3〕不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率 事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P〔A〕。 由定义可知0≤P〔A〕≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 3．事件间的关系 〔1〕互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件； 〔2〕对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件； 〔3〕包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B〔或事件B包含事件A〕； 4．事件间的运算 〔1〕并事件〔和事件〕 假设某事件的发生是事件A发生或事件B发生，那么此事件称为事件A与事件B的并事件。 注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式： P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕〔A、B互斥〕；且有P〔A+〕=P〔A〕+P〔〕=1。 〔2〕交事件〔积事件〕 假设某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，那么此事件称为事件A与事件B的交事件 5．古典概型 〔1〕古典概型的两大特点：1〕试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；2〕每个根本领件出现的可能性相等； 〔2〕古典概型的概率计算公式：P〔A〕=； 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个根本领件,通常此试验中的某一事件A由几个根本领件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个根本领件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一根本领件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P〔A〕=。 四．【典例解析】 题型1：随机事件的定义 例1．判断以下事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ 〔1〕“抛一石块，下落〞. 〔2〕“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化〞； 〔3〕“某人射击一次，中靶〞； 〔4〕“如果a＞b,那么a－b＞0”; 〔5〕“掷一枚硬币，出现正面〞； 〔6〕“导体通电后，发热〞； 〔7〕“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签〞； 〔8〕“某 机在1分钟内收到2次呼叫〞； 〔9〕“没有水份，种子能发芽〞；[来源:学科网ZXXK] 〔10〕“在常温下，焊锡熔化〞． 解析：根据定义，事件〔1〕、〔4〕、〔6〕是必然事件；事件〔2〕、〔9〕、〔10〕是不可能事件；事件〔3〕、〔5〕、〔7〕、〔8〕是随机事件 点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以区分。 例2．〔1〕如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。[来源:学科网ZXXK] 解析：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。 点评：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。 〔2〕在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。 解析：这个规那么是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运发动猜中的概率都是0.5，也就是每个运发动取得先发球权的概率都是0.5。 点评：这个规那么是公平的，因为每个运发动先发球的概率为0.5，即每个运发动取得先发球权的概率是0.5。事实上，只能使两个运发动取得先发球权的概率都是0.5的规那么都是公平的 题型2：频率与概率[来源:学科网] 例3．某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表：〔求其发芽的概率〕 种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2023 3000 发芽粒数 2 4 9 60 116 282[来源:学科网] 639 1339 1806 2715 解析：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动。故此种子发芽的概率为0.9。 点评：我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率 例4．进行这样的试验：从0、1、2、…、9这十个数字中随机取一个数字，重复进行这个试验10000次，将每次取得的数字依次记下来，我们就得到一个包括10000个数字的“随机数表〞．在这个随机数表里，可以发现0、1、2、…、9这十个数字中各个数字出现的频率稳定在0.1附近．现在我们把一个随机数表等分为10段，每段包括1000个随机数，统计每1000个随机数中数字“7〞出现的频率，得到如下的结果： 段序：n=1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 出现“7〞的频数 95 88 95 112 95 99 82 89 111 102 出现“7〞的频率 0.095 0.088 0.095 0.112 0.095 0.099 0.082 0.089 0.111 0.102 由上表可见，每1000个随机数中“7〞出现的频率也稳定在0.1的附近．这就是频率的稳定性．我们把随机事件A的频率P(A)作为随机事件A的概率P(A)的近似值。 点评：利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。这从某种意义上说是很繁琐的 题型3：随机事件间的关系 例5．〔2023江西卷文〕甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组〔每组两个队〕进行比赛，胜者再赛，那么甲、乙相遇的概率为 〔 〕 A． B． C． D． 【解析】所有可能的比赛分组情况共有种，甲乙相遇的分组情况恰好有6种，应选. 答案 D 〔1〕〔2023江苏卷〕现有5根竹竿，它们的长度〔单位：m〕分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3m的概率为 . 【解析】 考查等可能事件的概率知识。 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。 答案 0.2 〔2〕把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得1号球〞与事件“乙分得1号球〞是〔 〕 〔A〕互斥但非对立事件 〔B〕对立事件 〔C〕相互独立事件 〔D〕以上都不对 答案：A。 点评：一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。 例6．15.〔2023湖北卷文〕甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，那么三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。 【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76 答案 0.24 0.76 点评：本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等根底知识，及分析和解决实际问题的能力。 题型4：古典概率模型的计算问题[来源:学,科,网] 例7．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率 解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的根本领件有6个，即〔a1，a2〕和，〔a1，b2〕，〔a2，a1〕，〔a2，b1〕，〔b1，a1〕，〔b2，a2〕。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品〞这一事件， 那么A=[〔a1，b1〕，〔a2，b1〕，〔b1，a1〕，〔b1，a2〕]， 事件A由4个根本领件组成，因而，P〔A〕==。 点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：〔1〕所有的根本领件必须是互斥的；〔2〕m为事件A所包含的根本领件数，求m值时，要做到不重不漏 例8．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品： 〔1〕如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； 〔2〕如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。 分析：〔1〕为返回抽样；〔2〕为不返回抽样 解析：〔1〕有放回地抽取3次，按抽取顺序〔x,y,z〕记录结果，那么x,y,z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品〞，那么包含的根本领件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512。 〔2〕解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，根本领件不同，按抽取顺序记录〔x,y,z〕，那么x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品〞，那么事件B包含的根本领件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467。 解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序〔x,y,z〕记录结果，那么x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但〔x,y,z〕，〔x,z,y〕，〔y,x,z〕，〔y,z,x〕，〔z,x,y〕，〔z,y,x〕，是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的根本领件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467。 点评：关于不放回抽样，计算根本领件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不管选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否那么会导致错误 题型5：利用排列组合知识解古典概型问题 例9．〔2023四川理〕 从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，那么不同的挑选方法共有( C ) 　〔Ａ〕种　　　　　〔Ｂ〕种　　　　　〔Ｃ〕种　　　　〔Ｄ〕种 【解】：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有种不同挑选方法；