上海市曹杨中学2023学年高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 2．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（） A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．1+2i 3．若平面向量，满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 4． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A． B． C． D．8 6．已知满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ） A． B． C． D． 8．对于函数，定义满足的实数为的不动点，设，其中且，若有且仅有一个不动点，则的取值范围是（ ） A．或 B． C．或 D． 9．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是 A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为1 D．在复平面内的对应点位于第一象限 10．已知函数为奇函数，则（ ） A． B．1 C．2 D．3 11．已知等差数列的前13项和为52，则（ ） A．256 B．-256 C．32 D．-32 12．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数在的零点个数为________． 14．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________. 15．已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________． 16．若非零向量，满足，，，则______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点. （1）设直线，的斜率分别为，，求证：常数； （2）①设的内切圆圆心为的半径为，试用表示点的横坐标； ②当的内切圆的面积为时，求直线的方程. 18．（12分）已知函数 （1）当时，证明，在恒成立； （2）若在处取得极大值，求的取值范围. 19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，曲线C的方程为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标； （2）设P是椭圆上的动点，求面积的最大值. 20．（12分）已知函数，. （1）求证：在区间上有且仅有一个零点，且； （2）若当时，不等式恒成立，求证：. 21．（12分）已知中，内角所对边分别是其中. （1）若角为锐角，且，求的值； （2）设，求的取值范围. 22．（10分）已知椭圆的离心率为，直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点). （1）求椭圆的方程； （2）已知直线,为椭圆的右顶点. 若直线交于点，直线交于点，试判断是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【题目详解】 第一次循环：；第二次循环：； 第三次循环：；第四次循环：； 此时满足输出结果，故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 2、D 【答案解析】 两边同乘-i，化简即可得出答案． 【题目详解】 i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D. 【答案点睛】 的共轭复数为 3、C 【答案解析】 可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值. 【题目详解】 由题意可得： ， ， ， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题. 4、B 【答案解析】 模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【题目详解】 循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论． 5、A 【答案解析】 由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积． 【题目详解】 由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2， 直观图如图所示，． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 6、C 【答案解析】 设，则的几何意义为点到点的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【题目详解】 解：设，则的几何意义为点到点的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由图可知当过点的直线平行于轴时，此时成立； 取所有负值都成立； 当过点时，取正值中的最小值，，此时； 故的取值范围为； 故选：C. 【答案点睛】 本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在． 7、D 【答案解析】 利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系. 【题目详解】 是偶函数，， 而，因为在上递减， ， 即． 故选:D 【答案点睛】 本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题. 8、C 【答案解析】 根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得；构造函数，并讨论的单调性与最值，画出函数图象，即可确定的取值范围. 【题目详解】 由得，. 令， 则， 令，解得， 所以当时，，则在内单调递增； 当时，，则在内单调递减； 所以在处取得极大值，即最大值为， 则的图象如下图所示： 由有且仅有一个不动点，可得得或， 解得或. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题. 9、D 【答案解析】 利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【题目详解】 由题意， 则，的共轭复数为， 复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D． 【答案点睛】 复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为． 10、B 【答案解析】 根据整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出的值. 【题目详解】 依题意是奇函数.而为奇函数，为偶函数，所以为偶函数，故，也即，化简得，所以. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 11、A 【答案解析】 利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【题目详解】 由，，得.选A. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果. 12、A 【答案解析】 先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率. 【题目详解】 由题意知，抛物线焦点，准线与x轴交点，双曲线半焦距，设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上， 所以抛物线的准线，从而轴，所以， 即 故双曲线的离心率为 故选A 【答案点睛】 本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【题目详解】 详解： 由题可知，或 解得,或 故有3个零点． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题． 14、1 【答案解析】 当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案． 【题目详解】 因为点的横坐标为1，即当时，， 所以或， 又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，， 所以， 故， 所以函数的关系式为． 当时，（1）， 即点的横坐标为1，为二函数的图象的第二个公共点． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题． 15、 【答案解析】 由是偶函数可得时恒有，根据该恒等式即可求得，，的值，从而得到，令，可解得，，三点的横坐标，根据可列关于的方程，解出即可． 【题目详解】 解：因为是偶函数，所以时恒有，即， 所以， 所以，解得，，； 所以； 由，即，解得； 故，． 由，即，解得． 故，． 因为，所以，即，解得， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题． 16、1 【答案解析】 根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案. 【题目详解】 ，即 解得或（舍） 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析；（2）①；②. 【答案解析】 （1）设过的直线交抛物线于，，联立，利用直线的斜率公式和韦达定理表示出，化简即可； （2）由（1）知点在轴上，故，设出直线方程，求出交点坐标，因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径，列出方程组求解即可. 【题目详解】 （1）设过的直线交抛物线于，， 联立方程组，得：. 于是，有： ， 又， ； （2）①由（1）知点在轴上，故，联立的直线方程：. ，又点在抛物线上，得， 又， ； ②由题得， （解法一） 所以直线的方程为 （解法二） 设内切圆半径为，则.设直线的斜率为，则： 直线的方程为：代入直线的直线方程， 可得 于是有： 得， 又由（1）可设内切圆的