2023年湖北省八校高三数学第一次联考扫描版理.docx

1．某一随机变量的概率分布如下表，且，那么 的值为（　C　） 　　A．；　　　B．；　　　　C．；　　　D． 提示：， ． 2．假设，那么以下不等式中不一定成立的是 （ B ） A． B． C． D．∣∣> 提示：B中，，而时不一定成立． 3．集合，，那么 （ D ） A． B． C． D． 提示：，， ． 4．设，，假设是的必要而不充分条件，那么实数的取值范围是（ A ） A． B． C．∪ D．∪ 提示：由得：，由得：，又是的必要而不充分条件，所以 且，． 5．函数的值域是，那么它的定义域可以是（ A ） A． B． C． D． 提示：由函数的值域为可得：，， 或，即或． 6．函数在区间上的最小值是，那么的取值范围为（ C ） A． B． C． D． 提示：假设，那么，由图象知：或，所以 或，即；假设，同理可得：，应选C． 7．函数是 （ B ） A．周期为的偶函数 B．周期为的非奇非偶函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的非奇非偶函数 提示：，定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数又不是偶函数，又函数的周期为，去掉的点的周期为，所以函数的周期为，应选B． 8．函数，其中，那么使得在 上有解的概率为（ A ） A． B． C． D． 提示：任取的值有，而由图象可知当，时不满足条件，当 ，时满足条件，所以概率为． 9．设双曲线的右顶点为，为双曲线上的一个动点（不是顶点），从点引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线分别交于两点，其中为坐标原点，那么与的大小关系为（ C ） A． B． C． D．不确定 提示：取特殊点，那么直线的方程为，又直线的方程为 ，直线的方程为，解得的坐标为， ，易得．（假设设任意点也可得此结果） 10．平面向量的集合到的映射由确定，其中为常向量．假设映射满足对恒成立，那么的坐标不可能是 （ B ） A． B． C． D． 提示：令，那么 即，或，应选B． 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分． 50 55 60 65 70 75 体重 11．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，那么抽取的学生人数是　　　　． 提示：由图可知前组的频率为，所以第组 的频率为，学生人数为． A B C H M 12．如图，在中，于，为的中点，假设，那么 ． 提示：三点共线，，且，又，． 13．将抛物线按向量平移后所得抛物线的焦点坐标为 ． 提示：抛物线按平移后得抛物线的方程为：，所以其焦点坐标为 ． 14．假设等差数列的前项和为，且，，，那么 12 ． 提示：由得：，，又 ，所以． 15．给出定义：假设 (其中为整数)，那么叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此根底上给出以下关于函数的四个命题： ①的定义域是，值域是； ②点是的图像的对称中心； ③函数的最小正周期为1； ④ 函数在上是增函数； 那么其中真命题是__①③ ． 提示：依题意知，画图可知①③正确． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步 16．（本小题总分值10分）（注意：在试题卷上作答无效） 等比数列中，，分别为的三内角的对边，且． （1）求数列的公比； （2）设集合，且，求数列的通项公式． 解：（1）依题意知：，由余弦定理得： ，．．．．．．3分 而，代入上式得或，又在三角形中， 或；．．．．．．6分 （2），即且，．．．．．．8分 又，所以，或．．．．．．．10分 17．（本小题总分值12分）（注意：在试题卷上作答无效） 为坐标原点，向量，点是直线上的一点，且点分有向线段的比为． （1）记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域； （2）假设三点共线，求的值． 解：依题意知：，设点的坐标为，那么： ，所以，点的坐标为 ．．．．．．2分 （1） ，．．．．．．4分 由可知函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，．．．．．．6分 所以，其值域为；．．．．．．8分 （2）由三点共线的，．．．．．．10分 ， ．．．．．．．12分 18. （本小题总分值12分）（注意：在试题卷上作答无效） 假设关于的实系数方程有两个根，一个根在区间内，另一根在区间内，记点对应的区域为． （1）设，求的取值范围； （2）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，求反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线的方程． 解：方程的两根在区间和上的几何意义是：函数 与轴的两个交点的横坐标分别在区间和内，由此可得不等式组 a b A(-4, 3) B C O ，即，那么在坐标平面内，点对应的区域如图阴影局部所示，易得图中三点的坐标分别为 ，．．．．．．4分 （1）令，那么直线经过点时 取得最小值，经过点时取得最大值，即， 又三点的值没有取到，所以；．．．．．．8分 （2）过点的光线经轴反射后的光线必过点，由图可知 可能满足条件的整点为，再结合不等式知点符合条件，所以此时直线方程为：，即．．．．．．．12分 19．（本小题总分值13分）（注意：在试题卷上作答无效） 函数的反函数为，定义：假设对给定的实数，函数与互为反函数，那么称满足“和性质〞． （1）判断函数是否满足“1和性质〞，并说明理由； （2）假设，其中满足“2和性质〞，那么是否存在实数a，使得 对任意的恒成立？假设存在，求出的范围；假设不存在，请说明理由． 解：（1）函数的反函数是， 而其反函数为 , 故函数不满足“1和性质〞； ．．．．．．6分 （2）设函数满足“2和性质〞， ，而，得反函数 由“2和性质〞定义可知=对恒成立， 即函数，，在上递减，．．．．．．9分 所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立. ，，易得.而知所以.综合以上有当使得对任意的恒成立．．．．．．．13分 20．（本小题总分值14分）（注意：在试题卷上作答无效） 椭圆的左、右焦点分别为，假设以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为． （1）求椭圆的离心率的取值范围； （2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，假设，求直线被圆截得的弦长的最大值． F2 T O P y x 解：（1）依题意设切线长 ∴当且仅当取得最小值时取得最小值， 而，．．．．．．2分 ，， 从而解得，故离心率的取值范围是；．．．．．．6分 （2）依题意点的坐标为，那么直线的方程为， 联立方程组 得，设，那么有，，代入直线方程得， ，又，， ．．．．．．10分 ，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知， ，，，所以．．．．．．．14分 21．（本小题总分值14分）（注意：在试题卷上作答无效） 曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设 （1）求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，试比较与的大小； （3）记，数列的前项和为，试证明： 解：（1）依题意点的坐标为，，， ．．．．．．2分 ； ．．．．．．4分 （2），由，，， 当时， ；．．．．．．8分 （3），所以易证：， 当时，， ，（当时取“〞）．．．．．．11分 另一方面，当时，有： ， 又， ，．所以 对任意的，都有．．．．．．．14分