2023届黑龙江省实验中学高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则“直线与直线垂直”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知为锐角，且，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 5．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）． A． B． C． D． 6．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ） A． B． C． D． 8．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 9．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（　　） A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省． B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长． C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元． 10．已知.给出下列判断： ①若，且，则； ②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称； ③若在上恰有7个零点，则的取值范围为； ④若在上单调递增，则的取值范围为. 其中，判断正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满足的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（） A． B． C． D． 12．下列命题是真命题的是（ ） A．若平面，，，满足，，则； B．命题：，，则：，； C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件； D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等比数列的各项均为正数，，则的值为________. 14．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________. 15．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________. 16．在中，已知，则的最小值是________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知点，若点满足. （Ⅰ）求点的轨迹方程； （Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点， 求△面积的最大值及此时直线的方程. 18．（12分）已知数列的前项和和通项满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列中，，，求数列的前项和. 19．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证： 21．（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数； （Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 22．（10分）已知函数. （1）若，解关于的不等式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【题目详解】 取中点，由，可知：， 为三棱锥外接球球心， 过作平面，交平面于，连接交于，连接，，， ，，，为的中点 由球的性质可知：平面，，且． 设， ，， ，在中，， 即，解得：， 三棱锥的外接球的半径为：， 三棱锥外接球的表面积为． 故选：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置. 2、B 【答案解析】 由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解. 【题目详解】 由题意，“直线与直线垂直” 则，解得或， 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 3、C 【答案解析】 由可得，再利用计算即可. 【题目详解】 因为，，所以， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 4、D 【答案解析】 分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系. 详解：由题意可知：，即，，即， ，即，综上可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 5、B 【答案解析】 奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可. 【题目详解】 A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误； B：定义域关于原点对称，且 满足奇函数，又，所以在上，正确； C：定义域关于原点对称，且 满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误； D：定义域关于原点对称，且， 满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误； 故选：B 【答案点睛】 此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目. 6、B 【答案解析】 画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得的取值范围. 【题目详解】 由约束条件作出可行域是由，，三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到所在的直线的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时，点到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时.所以的取值范围是. 故选：B 【答案点睛】 本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识. 7、D 【答案解析】 由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【题目详解】 由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为, 所以所求概率, 故选:D 【答案点睛】 本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题. 8、A 【答案解析】 利用逐一验证的方法进行求解. 【题目详解】 若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A． 【答案点睛】 本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 9、C 【答案解析】 利用图表中的数据进行分析即可求解. 【题目详解】 对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确； 对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确； 对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误； 对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题. 10、B 【答案解析】 对函数化简可得，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【题目详解】 因为，所以周期. 对于①，因为，所以，即，故①错误； 对于②，函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误； 对于③，令，可得，则， 因为，所以在上第1个零点，且，所以第7个零点，若存在第8个零点，则， 所以，即，解得，故③正确； 对于④，因为，且，所以，解得，又，所以，故④正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题. 11、B 【答案解析】 根据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.根据图像变换的知识求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间. 【题目详解】 解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称， 对满足的，，有，∴. 再根据其图像关于直线对称，可得，. ∴，∴. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像. 令，求得， 则函数的单调递减区间是，， 故选B. 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题. 12、D 【答案解析】 根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D. 【题目详解】 若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误； 命题“：，”的否定为：，，故B错误； 为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误； 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确； 故选D 【答案点睛】 本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 运用等比数列的通