上海市延安中学2023学年高一数学下学期期末考试试题含解析.doc

上海市延安中学2023年-2023年学年高一数学下学期期末考试试题（含解析） 一.填空题（本大题14题，每题3分，共42分） 1.函数的最小正周期是________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数的周期公式计算即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题． 2.计算：________. 【答案】3 【解析】 【分析】 直接利用数列的极限的运算法则求解即可． 【详解】. 故答案为：3 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题． 3.设函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用反三角函数的定义，解方程即可． 【详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程， 得，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题． 4.已知数列是等差数列，若，，则公差________. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】设等差数列公差为，∵，，∴，解得＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题． 5.已知数列等比数列，若，，则公比________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵数列是等比数列，若，，则，解得，即. 故答案为： 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题． 6.计算：________. 【答案】 【解析】 【分析】 由等比数列前n项和公式，得=[1﹣]，从而求极限即可． 【详解】∵＝＝[1﹣]， ∴[1﹣]=． 故答案为： 【点睛】本题考查了等比数列前n项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题． 7.方程的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】 由诱导公式可得，由余弦函数的周期性可得：. 【详解】因为方程，由诱导公式得， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题． 8.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，若，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】 由等差数列的求和公式和性质可得，代入已知式子可得． 【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：＝，且，∴. 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题． 9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米 【答案】2000 【解析】 【分析】 由题意得，温度下降了，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可. 【详解】由题意得，这座山的高度为：米 故答案为：2000 【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题. 10.若 ，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可． 【详解】由，得 所以，又因为，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题． 11.若函数，的最大值为，则的值是________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为，由的范围可得的范围，根据最大值可得的值. 【详解】∵函数＝2（）＝， ∵，∴∈[，]，又∵的最大值为， 所以的最大值为，即=，解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题． 12.已知，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则_______________. 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即，为等比数列时，-2为等比中项，即，所以. 考点：等差，等比数列的性质 13.已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________. 【答案】7500 【解析】 【分析】 讨论的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得的通项公式，进而可求. 【详解】当是奇数时，＝﹣1，由，得， 所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列， 当为偶数时，＝1，由，得， 所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列， 则 ， 所以. 故答案为：7500 【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题． 14.已知数列的通项公式是，若将数列中的项从小到大按如下方式分组：第一组：，第二组：，第三组：，…，则2023年位于第________组. 【答案】32 【解析】 【分析】 根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决． 【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4； 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）； 第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）； … ∴第n组有2n个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n（n+1）． ∴当n＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984， ∴当n＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2023年位于第32组． 故答案为：32． 【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 15.“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 数列是等比数列与命题是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断． 【详解】若数列是等比数列，则，∴，∴数列是等比数列， 若数列是等比数列，则，∴，∴数列不是等比数列， ∴数列是等比数列是数列是等比数列的充分非必要条件， 故选：A． 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题． 16.设，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由得，再计算即可. 【详解】， ， 所以 故选：D 【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题． 17.已知等差数列公差d＞0，则下列四个命题： ①数列是递增数列； ②数列是递增数列； ③数列是递增数列； ④数列是递增数列； 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论． 【详解】设等差数列，d＞0 ∵对于①，n+1﹣n＝d＞0，∴数列是递增数列成立，是真命题． 对于②，数列，得， ，所以不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，是假命题． 对于③，数列，得，，不一定是正实数，故是假命题． 对于④，数列，故数列是递增数列成立，是真命题． 故选：B． 【点睛】本题考查用定义判断数列单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题． 18.已知数列和数列都是无穷数列，若区间满足下列条件：①；②；则称数列和数列可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可． 【详解】由题意，对于A：，，∵，∴不成立，所以A不正确； 对于B：由，，得不成立，所以B不正确； 对于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正确； 对于D：由，，得， ∴不成立，所以D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查新定义理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共4题，共42分） 19.解关于的方程： 【答案】 【解析】 【分析】 根据方程解出或，利用三角函数的定义解出，再根据终边相同角的表示即可求出. 【详解】由，得， 所以或，所以或， 所以的解集为：. 【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题. 20.已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式. 【答案】 【解析】 【分析】 当时，，当时，，即可得出． 【详解】∵已知数列的前项和为，且， 当时，， 当时，， 检验：当时，不符合上式， 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 21.已知等比数列是递增数列，且满足：，. （1）求数列的通项公式： （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式； （2）由（1）得，再利用等差数列的求和公式进行解答即可． 【详解】（1）由题意，得，又，所以，，或 ，， 由是递增的等比数列，得 ，所以，，且， ∴，即； （2）由（1）得， 得， 所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 22.已知数列满足，． （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围． 【答案】（1）见解析，；（2） 【解析】 【分析】 （1）对递推式两边取倒数化简,即可得出，利用等差数列的通项公式得出，再得出； （2）由（1）得，再使用裂项相消法求出，使用不等式得出的范围，从而得出的范围． 【详解】（1）∵，两边取倒数,∴，即，又， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴，∴． （2）由（1）得， ∴＝， 要使不等式Sn＜对一切恒成立，则． ∴的范围为:． 【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题． 23.己知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和. （1）若＝1，＞1，求的值； （2）若首项，，是正整数，满足不等式|﹣63|＜62，且对于任意正整数都成立，问：这样的数列有几个？ 【答案】（1）；（2）114 【解析】 【分析】 （1）利用等比数列的求和公式，进而可求的值； （2）根据满足不等式|﹣63|＜62，可确定的范围，进而可得随着的增大而增大，利用，可求解． 【详解】（1）已知数列是等比数列，且公比为，记是数列的前项和，＝1， ， ， 则； （2） 满足不等式|﹣63|＜62，． ， ，且， ，得随着的增大而增大，得 ， 又且对于任意正整数都成立，得，，且是正整数， 满足的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个，所以有114个数列． 【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题． - 15 -