2023年九类常见递推数列求通项公式方法60079.doc

递推数列通项求解方法举隅 类型一：〔〕 思路1〔递推法〕： ………。 思路2〔构造法〕：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，那么，即。 例1 数列满足且，求数列的通项公式。 解：方法1〔递推法〕：………。 方法2〔构造法〕：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，那么，即。 类型二： 思路1〔递推法〕：…。 思路2〔叠加法〕：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，即。 例2 ，，求。 解：方法1〔递推法〕： ………。 方法2〔叠加法〕：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，。 类型三： 思路1〔递推法〕：……。 思路2〔叠乘法〕：，依次类推有：、、…、，将各式叠乘并整理得…，即…。 例3 ，，求。 解：方法1〔递推法〕：… 。 方法2〔叠乘法〕：，依次类推有：、、…、、，将各式叠乘并整理得…，即…。 类型四： 思路〔特征根法〕：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时， (、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。 例4 、,,求。 解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即 ，解得，即。 类型五： 〔〕 思路〔构造法〕：，设，那么，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。 例5 ，，求。 解：设，那么，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。 类型六： 〔且〕 思路〔转化法〕：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。 例6 ，，求。 解：，式子两边同时除以得，令，那么，依此类推有、、…、，各式叠加得，即 。 类型七： 〔〕 思路〔转化法〕：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。 例7 ，，求。 解：对递推式左右两边分别取对数得，令，那么，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。 类型八：〔〕 思路〔转化法〕：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。 例8 ，，求。 解：对递推式左右两边取倒数得即，令那么。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，那么，即，。 类型九： 〔、〕 思路〔特征根法〕：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设〔为待定系数，可利用、求得〕；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设〔为待定系数，可利用其值的项间接求得〕；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。 例9 ， 〔〕，求。 解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得那么，，即，从而，。 寒假专题——常见递推数列通项公式的求法 重、难点： 1. 重点： 递推关系的几种形式。 2. 难点： 灵活应用求通项公式的方法解题。 【典型例题】 [例1] 型。 〔1〕时，是等差数列， 〔2〕时，设 ∴ 比拟系数： ∴ ∴ 是等比数列，公比为，首项为 ∴ ∴ [例2] 型。 〔1〕时，，假设可求和，那么可用累加消项的方法。 例：满足，求的通项公式。 解： ∵ ∴ …… 对这〔〕个式子求和得： ∴ 〔2〕时，当那么可设 ∴ ∴ 解得：， ∴ 是以为首项，为公比的等比数列 ∴ ∴ 将A、B代入即可 〔3〕〔0，1〕 等式两边同时除以得 令 那么 ∴ 可归为型 [例3] 型。 〔1〕假设是常数时，可归为等比数列。 〔2〕假设可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：：，〔〕求数列的通项。 解： ∴ [例4] 型。 考虑函数倒数关系有 ∴ 令 那么可归为型。 练习： 1. 满足，求通项公式。 解： 设 ∴ ∴ 是以4为首项，2为公比为等比数列 ∴ ∴ 2. 的首项，〔〕求通项公式。 解： …… ∴ 3. 中，且求数列通项公式。 解： ∴ ∴ 4. 数列中，，，求的通项。 解： ∴ 设 ∴ ∴ ∴ ……       ∴ ∴ 5. ：，时，，求的通项公式。 解： 设 ∴ 解得： ∴ ∴ 是以3为首项，为公比的等比数列 ∴ ∴ 【模拟试题】 1. 中，，，求。 2. 中，，〔〕求。 3. 中，，〔〕求。 4. 中，，〔〕求。 5. 中，，其前项和与满足〔〕 〔1〕求证：为等差数列 〔2〕求的通项公式 6. 在正整数数列中，前项和满足 〔1〕求证：是等差数列 〔2〕假设求的前n项和的最小值 1. 解： 由，得 ∴ …… ∴ ∴ 2. 解： 由得： ∴ 即是等比数列 ∴ 3. 解： 由得∴ 成等差数列， ∴ 4. 解： ∴ 〔〕 ∴ 〔〕设 即 ∴ 是等差数列 ∴ 5. 解： 〔1〕 ∴ ∴ 是首项为1，公差为2的等差数列 ∴ 〔2〕 ∴ 又 ∵ ∴ 6. 解： 〔1〕 ∴ 时， 整理得： ∵ 是正整数数列 ∴ ∴ ∴ 是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ 〔2〕 ∴ 为等差数列 ∴ ∴ 当时，的最小值为 16