2023年高考数学一轮复习学案（人教版a版）数列求和及数列实际问题高中数学.docx

2023年高考数学一轮复习精品学案〔人教版A版〕 数列求和及数列实际问题 一．【课标要求】 1．探索并掌握一些根本的数列求前n项和的方法； 2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。 二．【命题走向】 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜测、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 有关命题趋势： 1．数列是一种特殊的函数，而不等式那么是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对根底和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点； 2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度； 3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注. 预测2023年高考对本将的考察为： 1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合. 三．【要点精讲】 1．数列求通项与和 〔1〕数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。 〔2〕求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列； ②累差叠加法。最根本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1； ③归纳、猜测法。 〔3〕数列前n项和 ①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2； ②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等. ⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列， 记，那么，… ⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用适宜方法. ⑦通项分解法： 2．递归数列 数列的连续假设干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列. 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种： 〔1〕归纳、猜测、数学归纳法证明。 〔2〕迭代法。 〔3〕代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。 〔4〕作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题. 四．【典例解析】 题型1：裂项求和 例1．数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。 解析：首先考虑，那么=。 点评：数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，以下求和也可用裂项求和法。 例2．求。 解析：， . 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。 题型2：错位相减法 例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。 解析：①假设a=0时，Sn=0； ②假设a=1，那么Sn=1+2+3+…+n=； ③假设a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a〔1+a+…+an-1-nan〕， Sn=。 例4．，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。 解析：， ①-②得：， . 点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，那么数列的前项和求解，均可用错位相减法。 题型3：倒序相加 例5．求。 解析：。 ① 又。 ② 所以。 点评：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。 例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列， 求和： 解析：因为， ， 。 点评：此类问题还可变换为探索题形：数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。 题型4：其他方法 例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。 解析：此题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数， 故。 例8．求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和。 解析：其和为(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1－3-n)。 题型5：数列综合问题 例9．〔2023湖北卷文〕设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，那么{}，[], A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得，.那么等比数列性质易得三者构成等比数列. 例10．(2023湖南卷理)将正⊿ABC分割成〔≥2，n∈N〕个全等的小正三角形〔图2，图3分别给出了n=2,3的情形〕，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三普及平行于某边的任一直线上的数〔当数的个数不少于3时〕都分别一次成等差数列，假设顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 当n=3时，如以下图分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 即 进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，假设中有个数相加，可得中有个数相加，且由 可得所以 = 题型6：数列实际应用题 例11．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 假设银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比拟两种方案中，哪种获利更多？ 〔取〕 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利：〔万元〕， 银行贷款本息：〔万元〕， 故甲方案纯利：〔万元〕， ②乙方案获利： 〔万元〕； 银行本息和： 〔万元〕 故乙方案纯利：〔万元〕； 综上可知，甲方案更好。 点评：这是一道比拟简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解. 例12．(2023年广东卷文)〔本小题总分值14分〕 点〔1，〕是函数且〕的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+〔〕. 〔1〕求数列和的通项公式； 〔2〕假设数列{前项和为，问>的最小正整数是多少 解〔1〕, ,, . 又数列成等比数列， ，所以 ； 又公比，所以 ； 又,, ； 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ； ()； 〔2〕 ； 由得，满足的最小正整数为112. 题型7：课标创新题 例13．〔2023广东卷理〕知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为． 〔1〕求数列的通项公式； 〔2〕证明：. 解：〔1〕设直线：，联立得，那么，∴〔舍去〕 ，即，∴ 〔2〕证明：∵ ∴ 由于，可令函数，那么，令，得，给定区间，那么有，那么函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又， 那么有，即. 例14．〔2023安徽卷理〕首项为正数的数列满足 〔I〕证明：假设为奇数，那么对一切都是奇数； 〔II〕假设对一切都有，求的取值范围. 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题总分值13分。 解：〔I〕是奇数，假设是奇数，其中为正整数， 那么由递推关系得是奇数。 根据数学归纳法，对任何，都是奇数. 〔II〕〔方法一〕由知，当且仅当或。 另一方面，假设那么；假设，那么 根据数学归纳法， 综合所述，对一切都有的充要条件是或。 〔方法二〕由得于是或。 因为所以所有的均大于0，因此与同号。 根据数学归纳法，，与同号。 因此，对一切都有的充要条件是或。 五．【思维总结】 1．数列求和的常用方法 〔1〕公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列； 〔2〕裂项相消法：适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；局部无理数列、含阶乘的数列等； 〔3〕错位相减法：适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。 〔4〕倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 〔5〕分组求和法 〔6〕累加〔乘〕法等. 2．常用结论 〔1〕 1+2+3+...+n = 〔2〕1+3+5+...+(2n-1) = 〔3〕 〔4〕 〔5〕 〔6〕 3．数学思想 〔1〕迭加累加〔等差数列的通项公式的推导方法〕假设，那么……； 〔2〕迭乘累乘〔等比数列的通项公式的推导方法〕假设，那么……； 〔3〕逆序相加〔等差数列求和公式的推导方法〕； 〔4〕错位相减〔等比数列求和公式的推导方法〕.