2023届湖南省两校联考高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：） A．1624 B．1024 C．1198 D．1560 2．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（ ） A． B． C． D． 3．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数 4．在的展开式中，的系数为( ) A．-120 B．120 C．-15 D．15 5．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ） A． B． C． D． 6．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是( ) A． B． C． D． 7．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．在菱形中，，，，分别为，的中点，则（ ） A． B． C．5 D． 10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．4 11．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 12．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（ ） A．7 B．14 C．28 D．84 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值为________. 14．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____. 15．展开式中的系数为_______________． 16．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，. （1）证明：函数的极小值点为1； （2）若函数在有两个零点，证明：. 18．（12分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且 （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求锐二面角的大小． 19．（12分）已知等差数列的前n项和为，，公差，、、成等比数列，数列满足. （1）求数列，的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和. 20．（12分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 21．（12分）已知函数． （1）求函数的零点； （2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：； （3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围． 22．（10分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 月养殖量/千只3 3 4 5 6 7 9 10 12 月利润/十万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 生猪死亡数/只 29 37 49 53 77 98 126 145 （1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率； （2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）. （3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？ 附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：， 参考数据：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据高阶等差数列的定义，求得等差数列的通项公式和前项和，利用累加法求得数列的通项公式，进而求得. 【题目详解】 依题意 ：1，4，8，14，23，36，54，…… 两两作差得 ：3，4，6，9，13，18，…… 两两作差得 ：1，2，3，4，5，…… 设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为. 易，，进而得，所以，则，所以，所以. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 2、B 【答案解析】 利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果. 【题目详解】 为定义在上的奇函数，. 当时，，， 为奇函数，， 由得：或； 综上所述：若，则的解集为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况. 3、A 【答案解析】 通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 【题目详解】 由题可知，中位数和众数、平均数都有变化. 本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变， 根据方差公式可知方差不变. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4、C 【答案解析】 写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数． 【题目详解】 的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C 【答案点睛】 本题考查二项式展开的通项公式，属基础题． 5、B 【答案解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案 是正确的，应选答案B。 点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题 解决问题的能力。 6、C 【答案解析】 对选项逐个验证即得答案. 【题目详解】 对于，，是偶函数，故选项错误； 对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误； 对于，当时，； 当时，； 又时，. 综上，对，都有，是奇函数. 又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确； 对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查函数的基本性质，属于基础题. 7、A 【答案解析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可． 【题目详解】 作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8、B 【答案解析】 由且可得，故选B. 9、B 【答案解析】 据题意以菱形对角线交点为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【题目详解】 设与交于点，以为原点，的方向为轴，的方向为轴，建立直角坐标系， 则，，，，， 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 10、A 【答案解析】 由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率. 【题目详解】 解：设双曲线的半个焦距为，由题意 又，则，，，所以离心率， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题 11、A 【答案解析】 准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【题目详解】 设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【答案点睛】 本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 12、D 【答案解析】 利用等差数列的通项公式，可求解得到，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【题目详解】 ， 解得． ． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，模拟程序的运行，即可得到答案. 【题目详解】 根据题中的程序框图可得：, 执行循环体，， 不满足条件，执行循环体，， 此时，满足条件，退出循环，输出的值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了程序和算法，依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基本知识的考查. 14、①③④ 【答案解析】 对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确. 【题目详解】 对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确； 对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确； 对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面， 平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥， 所以四面体的体积一定是定值，所以③正确； 对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义， 四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，