2023届青海省西宁市三校高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（ ） A． B． C． D． 2．在边长为1的等边三角形中，点E是中点，点F是中点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A． B． C． D．以上都不对 6．已知向量，，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 7．已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 8．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（ ） A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0 10．已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 11．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ） A． B． C． D．1 12．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，若，则________. 14．戊戌年结束，己亥年伊始，小康，小梁，小谭，小杨，小刘，小林六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分别奔赴四所不同的学校参加演讲，则不同的分配方案有_________种（用数字作答）， 15．的展开式中的系数为________________． 16．在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在四棱锥中，平面， 底面是矩形，，，分别是，的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设， 求三棱锥的体积. 18．（12分）某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表： 月收入（单位：百元） 频数 5 10 5 5 频率 0.1 0.2 0.1 0.1 赞成人数 4 8 12 5 2 1 （1）若所抽调的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成频率分布直方图． （2）若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望． （3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果． 19．（12分）如图，在平行四边形中，，，现沿对角线将折起，使点A到达点P，点M，N分别在直线，上，且A，B，M，N四点共面. （1）求证：； （2）若平面平面，二面角平面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意成立，求实数的取值范围. 21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）过点（0,），且满足a+b＝3． （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为的直线与椭圆C交于两个不同点A，B，点M坐标为（2,1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？并说明理由． 22．（10分）在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【题目详解】 从6个球中摸出2个，共有种结果， 两个球的号码之和是3的倍数，共有 摸一次中奖的概率是， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是， 有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是， 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题． 2、C 【答案解析】 根据平面向量基本定理，用来表示，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知：点E是中点，点F是中点 ， 所以 又 所以 则 故选：C 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题. 3、B 【答案解析】 构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断． 【题目详解】 如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。 若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于 若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线 ∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件． 故选：B． 【答案点睛】 本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析． 4、D 【答案解析】 根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案. 【题目详解】 为奇函数，即，函数关于中心对称，排除. ，排除. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键. 5、A 【答案解析】 首先确定不超过的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果. 【题目详解】 不超过的素数有，，，，，，，，共个， 从这个素数中任选个，有种可能； 其中选取的两个数，其和等于的有，，共种情况， 故随机选出两个不同的数，其和等于的概率． 故选：. 【答案点睛】 本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 6、C 【答案解析】 求出，进而可求,即能求出向量夹角. 【题目详解】 解：由题意知，. 则 所以，则向量与的夹角为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式 进行计算. 7、D 【答案解析】 由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【题目详解】 中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”， “”“”. 因此，“” 是“”的充分必要条件. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 8、A 【答案解析】 设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案. 【题目详解】 双曲线的右顶点为，右焦点为， M所在直线为，不妨设， ∴MF的中点坐标为.代入方程可得， ∴，∴，∴（负值舍去）. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程. 9、A 【答案解析】 试题分析：渐近线方程是﹣y2=1，整理后就得到双曲线的渐近线． 解：双曲线 其渐近线方程是﹣y2=1 整理得x±2y=1． 故选A． 点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题． 10、A 【答案解析】 由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可. 【题目详解】 由已知，，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为， 所以圆心M到渐近线的距离为，故， 所以离心率为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题. 11、B 【答案解析】 根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值. 【题目详解】 根据题意,设, 则 由代入可得 即点的轨迹方程为 又因为,变形可得,即,且 所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示: 所以的最小值即为到直线的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值 设切线的方程为,化简可得 由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得 即 所以切线方程为或 所以当变化时, 到直线的最大值为 即的最大值为 故选:B 【答案点睛】 本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 12、A 【答案解析】 由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【题目详解】 如图， 取BC中点G，连接AG，DG，则，， 分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O， 则O为四面体的球心， 由，得正方形OEGF的边长为，则， 四面体的外接球的半径， 球O的表面积为． 故选A． 【答案点睛】 本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、10 【答案解析】 根据垂直得到，代入计算得到答案. 【题目详解】 ，则，解得， 故，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力. 14、1080 【答案解析】 按照先分组，再分配的分式，先将六人分成四组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种，再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种，然后用分步计数原理求解. 【题目详解】 将六人分成四组，其中两个组各2人，