2023届湖南省醴陵两中学高三适应性调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A． B． C． D． 2．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 4．设集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，则A∩B＝（ ） A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3} 5．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 6．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）． A．1 B． C．2 D．3 7．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（ ） A． B．1 C． D．2 8．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 9．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．若，则下列不等式不能成立的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 12．已知双曲线：，，为其左、右焦点，直线过右焦点，与双曲线的右支交于，两点，且点在轴上方，若，则直线的斜率为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，为正实数，且，则的最小值为________________. 14．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）. 15．已知正项等比数列中，，则__________． 16．设全集，，，则______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）当a=2时，求不等式的解集； （2）设函数.当时，，求的取值范围. 18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 19．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C1的普通方程为(x-1)2 +y2 =1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）. （Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程： （Ⅱ）设射线θ=(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|的值． 20．（12分）记为数列的前项和，已知，等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 21．（12分）已知函数（，），且对任意，都有. （Ⅰ）用含的表达式表示； （Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围，并证明； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断零点的个数，并说明理由. 22．（10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 令圆的半径为1，则，故选C． 2、C 【答案解析】 在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值. 【题目详解】 ∵直线是曲线的一条对称轴. ，又. . ∴平移后曲线为. 曲线的一个对称中心为. . ，注意到 故的最小值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 3、B 【答案解析】 圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【题目详解】 因为点在抛物线上， 又焦点，， 由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个， 故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上． 4、C 【答案解析】 先求集合A，再用列举法表示出集合B，再根据交集的定义求解即可． 【题目详解】 解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}， B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B＝{0，1，2，3}， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 5、B 【答案解析】 首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【题目详解】 将周一至周五分为组，每组至少天，共有：种分组方法； 将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法； 由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题. 6、C 【答案解析】 试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则， ，渐近线方程为，求出交点，， ，则；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程； 7、B 【答案解析】 根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得. 【题目详解】 解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根 ∴ 又是正项等比数列，所以 ∴. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题. 8、A 【答案解析】 ，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论． 【题目详解】 解：已知直线平面，则“” “”， 反之，直线满足，则或//或平面， “”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 9、D 【答案解析】 根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断. 【题目详解】 ，故其对应点的坐标为. 其位于第四象限. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题. 10、B 【答案解析】 根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【题目详解】 选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立； 选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立； 选项C：由于，所以，所以，所以成立； 选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查不等关系和不等式，属于基础题. 11、A 【答案解析】 将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可. 【题目详解】 由，，可知平面． 将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同． 由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 记的外心为，由为等边三角形， 可得．又，故在中，， 此即为外接球半径，从而外接球表面积为． 故选：A 【答案点睛】 本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题. 12、D 【答案解析】 由|AF2|＝3|BF2|，可得.设直线l的方程x＝my+，m＞0，设，，即y1＝﹣3y2①，联立直线l与曲线C,得y1+y2＝-②，y1y2＝③，求出m的值即可求出直线的斜率. 【题目详解】 双曲线C：，F1，F2为左、右焦点，则F2（，0），设直线l的方程x＝my+，m＞0，∵双曲线的渐近线方程为x＝±2y，∴m≠±2， 设A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＞0，由|AF2|＝3|BF2|，∴，∴y1＝﹣3y2① 由，得 ∴△＝（2m）2﹣4（m2﹣4）＞0，即m2+4＞0恒成立， ∴y1+y2＝②，y1y2＝③， 联立①②得，联立①③得， ，即：，，解得：，直线的斜率为， 故选D． 【答案点睛】 本题考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由，为正实数，且，可知，于是，可得 ，再利用基本不等式即可得出结果. 【题目详解】 解：，为正实数，且，可知， ， . 当且仅当时取等号. 的最小值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题. 14、21 3892 【答案解析】 根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积. 【题目详解】 如图所示： 正四棱锥P-A BCD的下底边长为二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺， 截去一段后，得正四棱台ABCD-A'B'C'D'，且上底边长为A'B'=6尺， 所以， 解得， 所以该正四棱台的体积是 ， 故答案为：21；3892. 【答案点睛】 本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题，也考查了棱台的体积计算问题，属于中档题. 15、 【答案解析】 利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得，再利用等比数列的性质可得，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【题目详解】 由， 所以，解得. ，所以， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题. 16、 【答案解析】 先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可． 【题目详解】 解：，或；