2023届遂溪县第一中学高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=( ) A．132 B．299 C．68 D．99 2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ） A． B． C． D． 3．如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中错误的是（ ） A．， B．存在点，使得平面平面 C．平面 D．三棱锥的体积为定值 4．函数在的图象大致为 A． B． C． D． 5．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ） A． B． C． D． 7．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ） A．480种 B．360种 C．240种 D．120种 8．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（ ） A．6 B． C． D．3 9．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A． B． C． D． 11．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则 A．1 B．2 C．3 D．4 12．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（ ） A．9 B．27 C．81 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，若，则______. 14．已知满足且目标函数的最大值为7，最小值为1，则___________． 15．如图，已知一块半径为2的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧，现要在这块材料上裁出一个直角三角形，若该直角三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为______. 16．已知实数a，b，c满足，则的最小值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意成立，求实数的取值范围. 18．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整数存在，求的值；若不存在，说明理由. 设正数等比数列的前项和为，是等差数列，__________，，，，是否存在正整数，使得成立？ 19．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，． （1）若，求证：⊥； （2）若二面角的大小为，求线段的长． 20．（12分）如图，在矩形中，，，点是边上一点，且，点是的中点，将沿着折起，使点运动到点处，且满足. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 21．（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值； （3）设直线与平面相交于点，若，求的值． 22．（10分）如图，在直角中，，，，点在线段上. （1）若，求的长； （2）点是线段上一点，，且，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求. 【题目详解】 对任意的，均有为定值， ， 故， 是以3为周期的数列， 故， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查周期数列求和，属于中档题. 2、C 【答案解析】 联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【题目详解】 依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3. 由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4 又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形 点M到直线NF的距离为 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3、B 【答案解析】 根据平行的传递性判断A；根据面面平行的定义判断B；根据线面垂直的判定定理判断C；由三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，判断D. 【题目详解】 在A中，因为分别是中点，所以，故A正确； 在B中，由于直线与平面有交点，所以不存在点，使得平面平面，故B错误； 在C中，由平面几何得，根据线面垂直的性质得出，结合线面垂直的判定定理得出平面，故C正确； 在D中，三棱锥以三角形为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确； 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题. 4、A 【答案解析】 因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A． 5、B 【答案解析】 根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果. 【题目详解】 A选项，若，，，，则或与相交；故A错； B选项，若，，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确； C选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错； D选项，若，，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错； 故选B 【答案点睛】 本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型. 6、C 【答案解析】 设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解. 【题目详解】 设球的半径为R， 根据题意圆柱的表面积为， 解得， 所以该球的体积为 . 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题. 7、B 【答案解析】 将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数. 【题目详解】 当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 8、D 【答案解析】 利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可． 【题目详解】 解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为， 说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则． 故选：． 【答案点睛】 本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题． 9、B 【答案解析】 先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出 和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出. 【题目详解】 设,根据图象可知, , 再由, 取, ∴. 将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象, ∴. ,, 令,则,显然, ∴是的必要不充分条件. 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题. 10、C 【答案解析】 设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【题目详解】 设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域， 所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为： . 故选：C 【答案点睛】 本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 11、D 【答案解析】 先用公差表示出，结合等比数列求出. 【题目详解】 ,因为成等比数列，所以，解得. 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键. 12、A 【答案解析】 根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值. 【题目详解】 设等比数列的公比为q. 由，得，解得或. 因为.且数列递增，所以. 又，解得， 故. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 根据向量加法和减法的坐标运算,先分别求得与,再结合向量的模长公式即可求得的值. 【题目详解】 向量, 则, 则 因为 即,化简可得 解得 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了向量坐标加法和减法的运算,向量模长的求法,属于基础题. 14、-2 【答案解析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可． 【题目详解】 由题意得：目标函数在点B取得最大值为7，在点A处取得最小值为1， ∴，， ∴直线AB的方程是：， ∴则，故答案为. 【答案点睛】 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题． 15、 【答案解析】 分两种情况讨论：（1）斜边在BC上，设，则，（2）若在若一条直角边在上，设，则，进一步利用导数的应用和三角函数关系式恒等变形和函数单调性即可求出最大值. 【题目详解】 （1）斜边在上，设，则， 则，， 从而. 当时，此时，符合. （2）若一条直角边在上，设，则， 则，， 由知. ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，