2023届河南省灵宝市实验高中高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（　　） A．sina＞sinb B．ca＞cb C．ac＜bc D． 2．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数,则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（ ） A． B．0 C．1 D．3 6．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ） A． B． C． D． 9．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为( ) A．3 B．3.4 C．3.8 D．4 10．设，其中a，b是实数，则（ ） A．1 B．2 C． D． 11．如图所示，为了测量、两座岛屿间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，再开回处，由向西开百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则、两座岛屿间的距离为（ ） A．3 B． C．4 D． 12．（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知点是双曲线渐近线上的一点，则双曲线的离心率为_______ 14．（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是____________． 15．根据如图所示的伪代码，输出的值为______. 16．抛物线的焦点坐标为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图所示,直角梯形中,,,,四边形为矩形,. （1）求证:平面平面; （2）在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,求出线段的长,若不存在,请说明理由. 18．（12分）已知函数． （1）当时，试求曲线在点处的切线； （2）试讨论函数的单调区间． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点. （1）证明:平面 （2）若，求二面角的余弦值. 20．（12分）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为. （1）求实数的值及函数的单调区间； （2）设函数，证明时， . 21．（12分）已知等差数列满足，. （l）求等差数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的普通方程； （2）若P，Q分别为曲线，上的动点，求的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据函数单调性逐项判断即可 【题目详解】 对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误； 对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确 对C,因为y＝xc为增函数,故 ，错误； 对D, 因为在为减函数，故 ，错误 故选B． 【答案点睛】 本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题． 2、D 【答案解析】 可以是共4个，选D. 3、A 【答案解析】 用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像. 【题目详解】 设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了函数图像的性质，属于中档题. 4、B 【答案解析】 根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论. 【题目详解】 由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为， 所以，， 又以为直径的圆经过点，则，即，解得，， 所以，，即，即， 所以，双曲线的离心率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题. 5、C 【答案解析】 先根据奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。 【题目详解】 因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，，用替换，得 ， 化简得，即 令，所以，故选C。 【答案点睛】 本题主要考查函数性质奇偶性的应用。 6、D 【答案解析】 圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【题目详解】 圆的圆心为， 由题意可得，即，，， 则，当且仅当且即时取等号， 故选：． 【答案点睛】 本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 7、B 【答案解析】 根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围. 【题目详解】 根据题意，画出函数图像如下图所示： 函数的零点，即. 由图像可知，， 所以是的一个零点， 当时，，若， 则，即，所以，解得； 当时，， 则，且 若在时有一个零点，则， 综上可得， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题. 8、D 【答案解析】 先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度. 【题目详解】 根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示： 由三视图知： ， 所以， 所以， 所以该几何体的最长棱的长为 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 9、D 【答案解析】 根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数. 【题目详解】 由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为和 一个底面半径为，高为的圆柱组合而成. 该几何体的表面积为 ， 解得， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题. 10、D 【答案解析】 根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知：， 即，所以 则 故选：D 【答案点睛】 本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题. 11、B 【答案解析】 先根据角度分析出的大小，然后根据角度关系得到的长度，再根据正弦定理计算出的长度，最后利用余弦定理求解出的长度即可. 【题目详解】 由题意可知：， 所以，， 所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 12、B 【答案解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【题目详解】 ． 故选B． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先表示出渐近线，再代入点，求出，则离心率易求. 【题目详解】 解：的渐近线是 因为在渐近线上，所以 ， 故答案为： 【答案点睛】 考查双曲线的离心率的求法，是基础题. 14、 【答案解析】 依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即． 15、7 【答案解析】 表示初值S=1,i=1，分三次循环计算得S=10>0,输出i=7. 【题目详解】 S=1,i=1 第一次循环：S=1+1=2,i=1+2=3； 第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5； 第三次循环：S=5+5=10,i=5+2=7； S=10>9,循环结束，输出：i=7. 故答案为：7 【答案点睛】 本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题. 16、 【答案解析】 变换得到，计算焦点得到答案. 【题目详解】 抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）存在，长 【答案解析】 （1）先证面,又因为面,所以平面平面. （2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设,则可得出 向量,求出平面的法向量为,利用直线与平面所成角的正弦公式列方程求出或,从而求出线段的长. 【题目详解】 解:（1）证明:因为四边形为矩形, ∴. ∵∴ ∴∴面 ∴面 又∵面 ∴平面平面 （2）取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系. 如图所示:则,,,,, 设,; ∴,, 设平面的法向量为, ∴,不防设. ∴, 化简得,解得或; 当时,,∴; 当时,,∴; 综上存在这样的点,线段的长. 【答案点睛】 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算能力. 18、（1）；（2）见解析 【答案解析】 （1）对函数进行求导，可以求出曲线在点处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线方程； （2）对函数进行求导，对实数进行分类讨论，可以求出函数的单调区间． 【题目详解】 （1）当时，函数定义域为，, 所以切线方程为； （2） 当时，函数定义域为，在上单调递增 当时，恒成立，函数定义域为，又在单调递增，单调递减，单调递增 当时，函数定义域为，在单调递增，单调递减，单调递增 当时，设的两个根为且，由韦达定理易知两根均为正根，且，所以函数的定义域为，又对称轴，且， 在单调递增，单调递减，单调递增 【答案点睛】 本题考查了曲线切线方程的求法，考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题，考查了分类思想. 19、（1）详见解析；（2）. 【答案解析】 （1）连接，由菱形的性质以及中位线，得，由平面平面，且交线，得平面，故而，最后由线面垂直的判定得结论. （2）以为原点建平面直角坐标系，求出平面平与平面的法向量 ，，最后求得二面角的余弦值为. 【题目详解】 解：（1）连结 ∵ ，且是的中点， ∴ ∵平面平面， 平面平面， ∴平面. ∵平面