2023届辽宁省沈阳市城郊市重点联合体高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 2．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．过双曲线的右焦点F作双曲线C的一条弦AB，且，若以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 4．执行下面的程序框图，则输出的值为 （ ） A． B． C． D． 5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 6．设，随机变量的分布列是 0 1 则当在内增大时，（ ） A．减小，减小 B．减小，增大 C．增大，减小 D．增大，增大 7．已知，，，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ） A． B． C． D． 9．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（ ） A．4 B．8 C．9 D．27 10．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（ ） A． B． C．1 D． 12．下列函数中既关于直线对称，又在区间上为增函数的是( ) A．. B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______. 14．已知集合，其中，.且，则集合中所有元素的和为_________. 15．已知是等比数列，且，，则__________，的最大值为__________． 16．的展开式中项的系数为_______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）若，，求的值； （2）若，求的值. 18．（12分）在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由. 19．（12分）设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 20．（12分）的内角，，的对边分别为，，，其面积记为，满足. （1）求； （2）若，求的值. 21．（12分）已知数列是等差数列，前项和为，且，． （1）求． （2）设，求数列的前项和． 22．（10分）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是， （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案. 【题目详解】 由题，得， 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以函数的最小正周期，则， 所以， 当时，， 所以是函数的一条对称轴， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性. 2、B 【答案解析】 根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值． 【题目详解】 因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面， 所以平面，所以平面.在直角三角形中，， 设，则， 所以，所 以.又因为，当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：B． 【答案点睛】 本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值． 3、C 【答案解析】 由得F是弦AB的中点.进而得AB垂直于x轴，得，再结合关系求解即可 【题目详解】 因为，所以F是弦AB的中点.且AB垂直于x轴.因为以AB为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以，即，则，故. 故选：C 【答案点睛】 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 4、D 【答案解析】 根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【题目详解】 运行程序， ， ， ， ， ， ，结束循环， 故输出， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题. 5、D 【答案解析】 试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 6、C 【答案解析】 ，，判断其在内的单调性即可． 【题目详解】 解：根据题意在内递增， ， 是以为对称轴，开口向下的抛物线，所以在上单调递减， 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 7、B 【答案解析】 由平行求出参数，再由数量积的坐标运算计算． 【题目详解】 由，得，则， ，，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键． 8、C 【答案解析】 在等比数列中，由即可表示之间的关系. 【题目详解】 由题可知，等比数列中，且公比为2，故 故选：C 【答案点睛】 本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 9、D 【答案解析】 设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解. 【题目详解】 设正四面体的棱长为，取的中点为，连接， 作正四面体的高为， 则， ， ， 设内切球的半径为，内切球的球心为， 则， 解得：； 设外接球的半径为，外接球的球心为， 则或，， 在中，由勾股定理得： ， ，解得， ， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题. 10、C 【答案解析】 在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论. 【题目详解】 在长方体中，平面即为平面， 过做于，平面， 平面， 平面，为与平面所成角， 在， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 11、B 【答案解析】 设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率. 【题目详解】 由题意可知点，设点、，设直线的方程为， 由于点是的中点，则， 将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得， 由韦达定理得，得，，解得， 因此，直线的斜率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 12、C 【答案解析】 根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【题目详解】 A中，当时，，所以不关于直线对称，则错误； B中，，所以在区间上为减函数，则错误； D中，，而，则，所以不关于直线对称，则错误； 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由余弦定理，正弦定理得出，从而得出，推出的范围，由余弦函数的性质得出的范围，再利用二倍角公式化简，即可得出答案. 【题目详解】 由题意得 由正弦定理得 化简得 又为锐角三角形， 则，， . 故答案为 【答案点睛】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题. 14、2889 【答案解析】 先计算集合中最小的数为，最大的数，可得，求和即得解. 【题目详解】 当时，集合中最小数； 当时，得到集合中最大的数； 故答案为：2889 【答案点睛】 本题考查了数列与集合综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 15、5 【答案解析】 ，即的最大值为 16、40 【答案解析】 根据二项定理展开式，求得r的值，进而求得系数． 【题目详解】 根据二项定理展开式的通项式得 所以 ，解得 所以系数 【答案点睛】 本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）. 【答案解析】 （1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值； （2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值. 【题目详解】 （1）在中，由余弦定理得， ，即， 解得或（舍），所以； （2）由及得，， 所以， 又因为，所以， 从而，所以. 【答案点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题. 18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点为线段的中点. 【答案解析】 （Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形，得到证明. （Ⅱ）建立如图所示坐标系，平面法向量为，平面的法向量，计算夹角得到答案. （Ⅲ）设，计算，，根据垂直关系得到答案. 【题目详解】 （Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形. 平面. （Ⅱ）平面，四边形为正方形. 所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系， 则，，，， 设平面法向量为，则， 连结，可得，又所以，平面， 平面的法向量， 设二面角的平面角为，则. （Ⅲ）线段上存在点使得，设， ，，， 所以点为线段的中点. 【答案点睛】 本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19、 (Ⅰ) .(Ⅱ). 【答案解析】 (Ⅰ)时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式的解集即可；(Ⅱ)不等式的解集为，等价于，求出在的最小值即可． 【题目详解】 (Ⅰ)当时， 时，不