2023届自治区北大附中高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 2．在中，，则=（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，夹角为，， ，则( ) A．2 B．4 C． D． 4．已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要 5．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．已知角的终边经过点P()，则sin()= A． B． C． D． 7．设数列的各项均为正数，前项和为，，且，则（ ） A．128 B．65 C．64 D．63 8．设为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数. 对于下列说法： ①越小，则国民分配越公平； ②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则. 其中正确的是： A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 10．已知命题，那么为（ ） A． B． C． D． 11．设，，是非零向量.若，则（ ） A． B． C． D． 12．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若，，则输出的（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．函数的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________. 14．已知单位向量的夹角为,则=_________. 15．曲线在点处的切线方程为__． 16．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，其中. （Ⅰ）若，求函数的单调区间； （Ⅱ）设.若在上恒成立，求实数的最大值. 18．（12分）在△ABC中，角所对的边分别为向量，向量，且. （1）求角的大小； （2）求的最大值. 19．（12分）在中，角的对边分别为.已知，且. （1）求的值； （2）若的面积是，求的周长. 20．（12分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积． 21．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，. （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前n项和. 22．（10分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列) (I)试用表示： (II)证明：原点到直线l的距离为定值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【题目详解】 A：为非奇非偶函数，不符合题意； B：在上不单调，不符合题意； C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意； D：为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【答案点睛】 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 2、B 【答案解析】 在上分别取点,使得, 可知为平行四边形，从而可得到，即可得到答案． 【题目详解】 如下图，，在上分别取点,使得, 则为平行四边形，故,故答案为B. 【答案点睛】 本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题． 3、A 【答案解析】 根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【题目详解】 由于， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 4、B 【答案解析】 由线面关系可知，不能确定与平面的关系，若一定可得，即可求出答案. 【题目详解】 , 不能确定还是， ， 当时，存在，， 由 又可得， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了必要不充分条件，线面垂直，线线垂直的判定，属于中档题. 5、B 【答案解析】 设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率. 【题目详解】 设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点， 由题意可知，直线与直线垂直，，， 因此，双曲线的离心率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出、、的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 6、A 【答案解析】 由题意可得三角函数的定义可知： ，，则： 本题选择A选项. 7、D 【答案解析】 根据，得到，即，由等比数列的定义知数列是等比数列，然后再利用前n项和公式求. 【题目详解】 因为， 所以， 所以， 所以数列是等比数列， 又因为， 所以， . 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8、A 【答案解析】 利用复数的除法运算化简，求得对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【题目详解】 ，对应的点的坐标为，位于第一象限. 故选：A. 【答案点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题. 9、A 【答案解析】 对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A． 10、B 【答案解析】 利用特称命题的否定分析解答得解. 【题目详解】 已知命题，，那么是. 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 11、D 【答案解析】 试题分析：由题意得：若，则；若，则由可知，，故也成立，故选D. 考点：平面向量数量积. 【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果. 12、B 【答案解析】 分析：根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为；根据流程图中的可知，每次循环的值应是一个等比数列，公比为，根据每次循环得到的的值的大小决定循环的次数即可. 详解： 记执行第次循环时，的值记为有，则有； 记执行第次循环时，的值记为有，则有. 令，则有，故 ，故选B. 点睛：本题为算法中的循环结构和数列通项的综合，属于中档题，解题时注意流程图中蕴含的数列关系（比如相邻项满足等比数列、等差数列的定义，是否是求数列的前和、前项积等）. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据图象利用，先求出的值，结合求出，然后利用周期公式进行求解即可． 【题目详解】 解：由，得， ，， 则， ， ，即， 则函数的最小正周期， 故答案为：8 【答案点睛】 本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键． 14、 【答案解析】 因为单位向量的夹角为，所以，所以==. 15、 【答案解析】 对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程. 【题目详解】 因为，所以，从而切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题. 16、 【答案解析】 化简得到，，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案. 【题目详解】 ，即，，故. 根据余弦定理：，即. 当时等号成立，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）求出函数的定义域以及导数，利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间； （Ⅱ）由题意可知在上恒成立，分和两种情况讨论，在时，构造函数，利用导数证明出在上恒成立；在时，经过分析得出，然后构造函数，利用导数证明出在上恒成立，由此得出，进而可得出实数的最大值. 【题目详解】 （Ⅰ）函数的定义域为. 当时，. 令，解得（舍去），. 当时，，所以，函数在上单调递减； 当时，，所以，函数在上单调递增. 因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （Ⅱ）由题意，可知在上恒成立. （i）若，，， ， 构造函数，，则， ，，. 又，在上恒成立. 所以，函数在上单调递增， 当时，在上恒成立. （ii）若，构造函数，. ，所以，函数在上单调递增. 恒成立，即，，即. 由题意，知在上恒成立. 在上恒成立. 由（Ⅰ）可知， 又，当，即时，函数在上单调递减， ，不合题意，，即. 此时 构造函数，. ， ，， ， 恒成立，所以，函数在上单调递增，恒成立. 综上，实数的最大值为 【答案点睛】 本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，本题的难点在于不断构造新函数来求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题. 18、（1）（2）2 【答案解析】 （1）转化条件得，进而可得，即可得解； （2）由化简可得，由结合三角函数的性质即可得解. 【题目详解】 （1），， 由正弦定理得， 即， 又 ，， 又 ，，， 由可得. （2）由（1）可得，， ， ，，， 的最大值为2. 【答案点睛】 本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题. 19、（1）；（2） 【答案解析】 （1）由正弦定理可得,,化简并结合,可求得三者间的关系,代入余弦定理可求得; （2）由（1）可求得,再结合三角形的面积公式,可求出,从而可求出答案.