2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案正余弦定理解斜三角形高中数学.docx

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 一、明确复习目标 掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。 二．建构知识网络 1．三角形根本公式： 〔1〕内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos=sin, sin=cos 〔2〕面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB S= pr = (其中p=, r为内切圆半径) 〔3〕射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA 2．正弦定理： 证明：由三角形面积 得 画出三角形的外接圆及直径易得： 3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ； 证明：如图ΔABC中， 当A、B是钝角时，类似可证。 正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题： 〔1〕两角和任一边，求其他两边和一角； 〔2〕两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况： bsinA<a<b时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；a<bsinA时无解。 5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题： 　　〔1〕三边，求三角；〔2〕两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力 三、双基题目练练手 1．(2023山东)在中，角的对边分别为，，那么 〔 〕 A.1 B.2 C. D. 2．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，那么边AC上的高为〔 〕 A. B. C. D. 3．〔2023年上海〕在△ABC中，假设2cosBsinA=sinC，那么△ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4. (2023全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6〔单位：〕的5根细木棒围成一个三角形〔允许连接，但不允许折断〕，能够得到的三角形的最大面积为 ( ) A. B. C. D. 5.〔2023全国Ⅱ〕的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，那么边BC上的中线AD的长为_________. 6.(2023春上海)在△中，，三角形面积为12，那么 . ◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b. 4.组成边长6,7,7时面积最大; 5. ; 6. 四、经典例题做一做 【例1】(2023天津)如图，在中，，，． 〔1〕求的值； 〔2〕求的值. 解〔Ⅰ〕： 由余弦定理， ∴ 〔Ⅱ〕解：由，且得 由正弦定理: 解得。所以，。由倍角公式 ， 且，故 . ◆提炼方法：两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角〞的限制. 【例2】在ΔABC中，a=,b=,B=45°，求A,C及边c． 解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b<a, 所以有两解A=60°或A=120° (1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=, (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c= ◆提炼方法：两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解的情况的讨论． 【例3】(2023上海)如图，当甲船位于A处时得悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援〔角度精确到〕？ [解] 连接BC,由余弦定理得 _ 10 _ A _ _ 20 _ C _ B BC2=202+102－2×20×10COS120°=700 于是,BC=10 30° ∵, ∴sin∠ACB=, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援 思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出量、未知量，确定解三角形的方法； 【例4】⊙O的半径为R，，在它的内接三角形ABC中，有 成立，求△ABC面积S的最大值． 解：由条件得 ．即有 ， 又 　　∴ ． ∴ 当时, ． ◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。 2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质． 【研讨.欣赏】 〔2023江西〕如图,△是边长为的正三角形, 、分别是边、上的点,线段经过△的中心.设. (1) 试将△、△的面积(分别记为与)表示为的函数; (2) 求的最大值与最小值. 解: (1)因为为边长为的正三角形的中心, 所以 由正弦定理 因为,所以当时,的最大值; 当时, 的最小值. 五．提炼总结以为师 1．掌握三角形中的的根本公式和正余弦定理； 2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题： 〔1〕两角和任一边，求其他两边和一角； 〔2〕两边和其中一边的对角，求另一边的对角〔从而进一步求出其他的边和角〕；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题： （1） 三边，求三角；〔2〕两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 4．边角互化是解三角形的重要手段． 同步练习 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 【选择题】 1.〔2023浙江〕在△ABC中，“A＞30°〞是“sinA＞〞的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.〔2023全国Ⅳ〕△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于 ( ) A. B.1+ C. D.2+ 3..以下条件中，△ABC是锐角三角形的是 ( ) A.sinA+cosA= B.·＞0 C.tanA+tanB+tanC＞0 D.b=3，c=3，B=30° 4.(2023全国Ⅰ)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，假设a、b、c成等比数列，且，那么 ( ) A. B. C. D. 【填空题】 5.〔2023春上海〕在中，分别是、、所对的边。假设，，， 那么__________ 6.在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，那么边长c的取值范围是_______. 练习简答：1-4.BBCB; 1.在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞；sinA＞30°＜A＜150°A＞30°答案：B 2. 2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.由S=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.得cosB====，解得b=1+.答案：B 3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C 5.2; 6.假设c最大，由cosC＞0.得c＜.又c＞b－a=1，∴1＜c＜. 【解答题】 7.〔2023春北京〕在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值. 剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值. 解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac. 又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc. 在△ABC中，由余弦定理得 cosA===，∴∠A=60°. 在△ABC中，由正弦定理得sinB=， ∵b2=ac，∠A=60°， ∴=sin60°=. 解法二：在△ABC中， 由面积公式得bcsinA=acsinB. ∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB. ∴=sinA=. 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理. 8.〔2023春北京〕在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积. 解法一：∵sinA+cosA=cos〔A－45°〕=， ∴cos〔A－45°〕=. 又0°＜A＜180°， ∴A－45°=60°，A=105°. ∴tanA=tan〔45°+60°〕==－2－. ∴sinA=sin105°=sin〔45°+60°〕 =sin45°cos60°+cos45°sin60°=. ∴S△ABC=AC·ABsinA =·2·3· =〔+〕. 解法二：∵sinA+cosA=， ① ∴〔sinA+cosA〕2=.∴2sinAcosA=－. ∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0. ∴90°＜A＜180°. ∵〔sinA－cosA〕2=1－2sinAcosA=， ∴sinA－cosA=. ② ①+②得sinA=. ①－②得cosA=. ∴tanA==·=－2－. 〔以下同解法一〕 9. 〔2023全国Ⅱ〕锐角△ABC中，sin〔A+B〕=，sin〔A－B〕=. 〔1〕求证：tanA=2tanB； 〔2〕设AB=3，求AB边上的高. 剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以〔1〕为铺垫，解决〔2〕. 〔1〕证明：∵sin〔A+B〕=，sin〔A－B〕=， ∴ =2. ∴tanA=2tanB. 〔2〕解：＜A+B＜π，∴sin〔A+B〕=. ∴tan〔A+B〕=－， 即=－.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB=〔负值舍去〕.得tanB=，∴tanA=2tanB=2+. 设AB边上的高为CD，那么AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+. 评述：此题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 10. 在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状. 分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答此题，就必须“化角为边〞. 解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a=，所以 , 化简得a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形. 评述：恒等变形是学好数学的根本功，变形的方向是关键.假设考虑三内角的关系，此题可以从条件推出cosA=0. 【探索题】A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+. 〔1〕假设任意交换两个角的位置，y的值是否变化试证明你的结论. 〔2〕求y的最小值. 解：〔1〕∵y=cotA+ =cot A+ =cot A