2023届海南省昌江县矿区中学高三下学期联合考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ） A．8 B．7 C．4 D．3 3．将3个黑球3个白球和1个红球排成一排，各小球除了颜色以外其他属性均相同，则相同颜色的小球不相邻的排法共有（ ） A．14种 B．15种 C．16种 D．18种 4．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ） A．45 B．50 C．55 D．60 6．设复数满足，则（ ） A．1 B．-1 C． D． 7．若复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 8．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A． B．6 C．4 D．5 9．一小商贩准备用元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价元，乙每件进价元，甲商品每卖出去件可赚元，乙商品每卖出去件可赚元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件 10．已知函数，若时，恒成立，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 11．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（ ） A． B． C． D． 12．给出下列三个命题： ①“”的否定； ②在中，“”是“”的充要条件； ③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． 其中假命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在数列中，，则数列的通项公式_____. 14．有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数，则对应的排法有______种； ______； 15．设实数x，y满足，则点表示的区域面积为______. 16．若正实数，，满足，则的最大值是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面． 求证：平面； 若，，求证：平面平面. 18．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且 . （1）求点的坐标； （2）求的取值范围. 19．（12分）已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）证明：当时，. 20．（12分）在平面直角坐标系中，设，过点的直线与圆相切，且与抛物线相交于两点． （1）当在区间上变动时，求中点的轨迹； （2）设抛物线焦点为，求的周长(用表示)，并写出时该周长的具体取值． 21．（12分）已知椭圆，上、下顶点分别是、，上、下焦点分别是、，焦距为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆上异于、的动点，过作与轴平行的直线，直线与交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值，说明理由. 22．（10分）如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【题目详解】 设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点， 所以， 则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时取等号，此时， ， 点在以为焦点的椭圆上，， 由椭圆的定义得， 所以椭圆的离心率，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 2、D 【答案解析】 转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解. 【题目详解】 由题意得， ，集合的真子集的个数为个. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 3、D 【答案解析】 采取分类计数和分步计数相结合的方法，分两种情况具体讨论，一种是黑白依次相间，一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起 【题目详解】 首先将黑球和白球排列好，再插入红球. 情况1：黑球和白球按照黑白相间排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此时将红球插入6个球组成的7个空中即可，因此共有2×7=14种； 情况2：黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此时红球只能插入两个相同颜色的球之中，共4种. 综上所述，共有14+4=18种. 故选：D 【答案点睛】 本题考查排列组合公式的具体应用，插空法的应用，属于基础题 4、A 【答案解析】 设，因为，得到，利用直线的斜率公式，得到，结合基本不等式，即可求解. 【题目详解】 由题意，抛物线的焦点坐标为， 设， 因为，即线段的中点，所以， 所以直线的斜率， 当且仅当，即时等号成立， 所以直线的斜率的最大值为1. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 5、D 【答案解析】 根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数. 【题目详解】 根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30， ∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题 6、B 【答案解析】 利用复数的四则运算即可求解. 【题目详解】 由. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题. 7、B 【答案解析】 根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出. 【题目详解】 , , 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 8、D 【答案解析】 由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【题目详解】 由题意 ． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 9、D 【答案解析】 由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【题目详解】 设购买甲、乙两种商品的件数应分别，利润为元，由题意， 画出可行域如图所示， 显然当经过时，最大. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断，是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 10、D 【答案解析】 通过分析函数与的图象，得到两函数必须有相同的零点，解方程组即得解. 【题目详解】 如图所示，函数与的图象， 因为时，恒成立， 于是两函数必须有相同的零点， 所以 ， 解得． 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11、D 【答案解析】 利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【题目详解】 当时，． 所以数列从第2项起为等差数列，， 所以，，． ，， ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 12、C 【答案解析】 结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【题目详解】 对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题; 对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确; 对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【答案点睛】 本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题意可得，又，数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对分奇数和偶数两种情况，分别求出，从而得到数列的通项公式. 【题目详解】 解：∵， ∴①，②， ①﹣②得：，又∵， ∴数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当为奇数时，， 当为偶数时，则为奇数，∴， ∴数列的通项公式， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式． 14、36 ；1. 【答案解析】 的可能取值为0，1，2，3，对应的排法有：.分别求出，，，，由此能求出. 【题目详解】 解：有2名老师和3名同学，将他们随机地排成一行，用表示两名老师之间的学生人数， 则的可能取值为0，1，2，3， 对应的排法有：. ∴对应的排法有36种； ， ， ， ， ∴ 故答案为：36；1. 【答案点睛】 本题考查了排列、组合的应用，离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题. 15、 【答案解析】 先画出满足条件的平面区域，求出交点坐标，利用定积分即可求解. 【题目详解】 画出实数x，y满足表示的平面区域，如图（阴影部分）： 则阴影部分的面积， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了定积分求曲边梯形的面积，考查了微积分基本定理，属于基础题. 16、 【答案解析】 分析：将题中的式子进行整理，将当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果. 详解：，当且仅当等号成立，故答案是. 点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、证明见解析；证明见解析. 【答案解析】 利用线面平行的判定定理求证即可； 为中点，为中点，可得，，