2023届江西省宜春市五校高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，长方体中，，，点T在棱上，若平面.则（ ） A．1 B． C．2 D． 2．已知命题：，，则为( ) A．， B．， C．， D．， 3．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ） A．56 B．60 C．140 D．120 4．已知当，，时，，则以下判断正确的是 A． B． C． D．与的大小关系不确定 5．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．等腰直角三角形BCD与等边三角形ABD中，，，现将沿BD折起，则当直线AD与平面BCD所成角为时，直线AC与平面ABD所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 9．已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ） A． B． C． D． 10．已知全集，集合，则=（ ） A． B． C． D． 11．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412 由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A． B． C． D． 12．已知，，，若，则正数可以为（ ） A．4 B．23 C．8 D．17 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在的展开式中的系数为，则_______． 14．已知随机变量服从正态分布，，则__________． 15．在中，，，，则________，的面积为________． 16．设为锐角，若，则的值为____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，的最大值为． 求实数b的值； 当时，讨论函数的单调性； 当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由． 18．（12分）已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由. 19．（12分）已知圆：和抛物线：，为坐标原点． （1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程； （2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标． 20．（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E． （1）求证：四边形ACC1A1为矩形； （2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值． 21．（12分）已知函数. （1）证明：当时，； （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围. 22．（10分）设函数，其中是自然对数的底数. （Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围； （Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据线面垂直的性质，可知；结合即可证明，进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得. 【题目详解】 长方体中，， 点T在棱上，若平面. 则， 则，所以， 则， 所以 ， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题. 2、C 【答案解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【题目详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 3、C 【答案解析】 试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用． 4、C 【答案解析】 由函数的增减性及导数的应用得：设，求得可得为增函数，又，，时，根据条件得，即可得结果． 【题目详解】 解：设， 则， 即为增函数， 又，，，， 即， 所以， 所以． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 5、B 【答案解析】 复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围. 【题目详解】 ， 由其在复平面对应的点在第二象限， 得，则. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6、A 【答案解析】 设E为BD中点，连接AE、CE，过A作于点O，连接DO，得到即为直线AD与平面BCD所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到即为直线AC与平面ABD所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【题目详解】 设E为BD中点，连接AE、CE， 由题可知，，所以平面， 过A作于点O，连接DO，则平面， 所以即为直线AD与平面BCD所成角的平面角， 所以，可得， 在中可得， 又，即点O与点C重合，此时有平面， 过C作与点F， 又，所以，所以平面， 从而角即为直线AC与平面ABD所成角，， 故选：A. 【答案点睛】 该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目. 7、D 【答案解析】 先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率. 【题目详解】 双曲线与互为共轭双曲线， 四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为， 四个顶点形成的四边形的面积， 四个焦点连线形成的四边形的面积， 所以， 当取得最大值时有，，离心率， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 8、C 【答案解析】 根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解． 【题目详解】 ，， ，． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则． 9、C 【答案解析】 设，则，，，设，根据化简得到，得到答案. 【题目详解】 设，则，，，则，设， 则，两式相减得到：， ，，即，， ，故，即，故，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10、D 【答案解析】 先计算集合，再计算，最后计算． 【题目详解】 解： ， ， ． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题． 11、A 【答案解析】 由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【题目详解】 由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412. 则恰好第三次就停止摸球的概率为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 12、C 【答案解析】 首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可； 【题目详解】 解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8. 故选：C 【答案点睛】 本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2 【答案解析】 首先求出的展开项中的系数，然后根据系数为即可求出的取值. 【题目详解】 由题知， 当时有， 解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题. 14、0.22. 【答案解析】 正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。 【题目详解】 【答案点睛】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题． 15、 【答案解析】 利用余弦定理可求得的值，进而可得出的值，最后利用三角形的面积公式可得出的面积. 【题目详解】 由余弦定理得，则， 因此，的面积为. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题. 16、 【答案解析】 ∵为锐角，，∴， ∴，， 故. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在. 【答案解析】 分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时， 取得极大值，也是最大值， 由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果. 详解：(1) 由题意得， 令，解得， 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减. 所以当时， 取得极大值，也是最大值， 所以，解得. （2）的定义域为. ①即,则，故在单调增 ②若,而,故,则当时，; 当及时， 故在单调递减，在单调递增． ③若,即