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高层办公楼电梯问题 高层办公楼电梯问题 理学院09统计学1班 200910060111 摘要：合理的调控使用电梯，提高电梯的服务率，尽量减少乘客的等待时间和乘梯时间，是电梯管理的首要任务。本文针对上班高峰期建立了电梯优化调度模型，采用动态规划的方法解出了最优调度方案。 问题：我们通过对上班高峰时段的电梯运行参数进行分析, 利用概率论的方法得到了电梯往返运行一次的平均时间和每组电梯运完该组人数的总时间，进而以“运行最慢的电梯的服务时间最小”的“最大最小”原则作为其评价指标得出目标函数： 建立了动态规划模型，得出了分层方案是乘客在等待条件下电梯调度的最优方案。 通过本文论证,在交通需求较大的高层或超高建筑可以采用群组分区运行方式，能有效减少了平均运行周期、乘客平均等待时间及平均行程时间等指标，从而提高电梯交通系统运行效率。 关键词: 高峰期 最大最小原则 动态规划 平均等待时间 分层方案 Abstract: The reasonable regulation elevators, elevator service rate to minimize the waiting time of passengers by ladder time, the primary task of the elevator management. In this paper, the rush of the elevator optimization scheduling model using dynamic programming method to solve the optimal scheduling scheme. Key word： rush hours maximum and minimum   Dynamic programming decentralized management 一、问题重述 要求为解决商用写字楼在上班高峰期（早上8：20至9：00）电梯拥挤状况而设计一个合理有效的电梯调度运行方案。 电梯运行参数及要求： (1)第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3.91 m； - 7 - 三、符号说明 ：最大速度 ：加速度 ：电梯的组数 ：第组电梯运送的总人数，其中 ：第组电梯的电梯数目 ：第组电梯从底层直达第一站所用的时间 ：第组电梯由所服务的第一站到最后一站的运行时间 ：第组电梯直接下到底层所用时间 ：第组电梯乘客上下电梯，开关门及其他损失的时间 ：第组电梯的运行周期 ：第组电梯所管楼层数 ：每层的人数 ：每组的间隔时间 ：每组电梯运完改组人的总时间 ：第组电梯运送的总人数 四、问题分析 由于高层办公楼电梯的运行是一个复杂的，重复的上下行运动过程。我们为了简化其过程，选取其中上行过程。其上行如图1所示： 乘客到达电梯口 等待 乘 客 进 入 电梯向上行 电梯暂 停 继续上 行 运送完毕返回门 厅 电梯启动 某乘客到达 目标楼层 对于问题： 为了尽量减少乘客等待时间，可以考虑为电梯分配不同的负载区域，让每个电梯单独运行的负载楼层，这样不仅减轻了电梯的负荷量，而且可以减少电梯每一次运行中的停靠次数，最终达到减少乘客等待与乘梯时间。 由于乘客乘电梯的需求是随机的，而且上下电梯的地点也是随机的，从而需要对一个确定的电梯服务过程进行系统分析。设电梯的服务范围是从第层开始的连续层人员。 我们可以最大最小原则，即使得服务最慢的的一组电梯服务时间最短。在上班高峰期，乘客全部在一楼等待进入电梯，而且在自己的工作地点下电梯。 为了研究运载乘客的电梯运行情况，必须了解电梯停靠的次数及位置。由于乘客随机分布在电梯服务范围内的任意楼层，从而电梯的运行中停靠次数以及停靠位置也是随机变量。如果知道停靠次数及位置就可以得到电梯完成运送乘客且返回一楼所用的时间即该组电梯的运行周期T。进而就可得出该组电梯运载完所服务层数的所有乘客需要的时间。 然后以最大最小原则列目标函数，建立动态规划模型，求得最佳调度方案。 电梯运行一周示意图 五、模型的建立与求解 1.电梯运行时间和运送距离的关系 经分析可知在电梯运行过程中只有两种运行情况： （1） 电梯加速至最大速度，接着匀速运动，然后减速运动。 运动曲线如图2： 加速度随时间变化图 速度随时间变化图 设电梯的最大运行速度为，电梯开始运动到第一次停靠所服务层的距离为，所运行时间为，加速度为。 已知电梯初速度为0，因此电梯在运动中任意时刻的速度满足，因此加速到最大速度需要时间为，其所走位移为。 当时，电梯匀速阶段运行时间，因此整个过程中的运行时间为； （2）电梯加速至某一速度，然后做减速运动，即时：速度曲线如图3 电梯未达到最大速度就开始减速。此时能达到的最大速度为，所用时间为，其运行位移为。 因此电梯运行时间和运送距离的关系为 2．电梯平均往返运行时间 电梯的平均往返运行时间，包含了电梯从门厅出发到第一次停靠时的运行时间，第一次停靠后电梯后续往上运行，电梯往下运行的时间，以及所有乘客上下电梯，开关门及其他损失的时间。 即 ： 电梯运行流程如图所示： 图4电梯运行一周示意图 第一部分： 第组电梯从底层直达第一站所用的时间： 第二部分：第组电梯由所服务的第一站到最后一站的运行时间： 第三部分： 第组电梯直接下到底层所用时间： 第四部分： 第组电梯乘客上下电梯，开关门及其他损失的时间： 因此可以得出第组电梯的运行周期： 3．每组电梯运完该组人的总时间 提高电梯的服务效率, 对服务于整个楼的电梯进行分组, 每组服务于不同的楼层考虑。为使等待时间达到最小, 同一组电梯必须均匀分布在它们所服务的楼层。 令+2，则每组电梯运送的总人数为： 设每组有个电梯组成, 则每组的间隔时间为： 记则每组电梯运完该组人的总时间： 模型建立： 得到每组电梯运完该组人的总时间以后，我们就可以来确定电梯的调度方案。以用最少的时间把乘客运送完毕作为确定电梯调度方案优劣的标准。 目标函数： 约束条件： 这是一个带整数的非线性规划问题，当分成一个区域(也即不分区)I=1时，由(1)式子可以很容易求某组电梯的总运行时间；但分为多区域时则需要考虑上百种分区点位置，因此需要一个较为简便的算法。 在确定分区点时，一旦当前一个分区点确定以后，其后续分区点的最优位置只受当前分区点位置决定，而不受当前分区点之前分区点位置影响。这个特点刚 好满足动态规划方法的最优化原理：“一个过程的最优策略具有这样的性质：即无论初始状态和初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略。”因而我们考虑利用动因而我们考虑利用动态规划方法求解各组电梯所服务楼层的最优方案。 根据评判标准，规划方程的目标是使得某一种规划方案（即电梯分组的组数一定）中，各组电梯的完成任务时间的最大值最小化。对于规划函数，按分组n进行动态规划得到两组最优方案。 平均等待时间较短的最优方案： 表一： 调度方案有关数据 t/s 组数 服务楼层 服务楼层数 电梯数 总运送时间 运行周期 平均等待时间 1 2-11 10 2 8361.7 159.51 79.76 2 12-20 9 2 9381.8 163.69 81.84 3 21-30 10 2 7784.2 166.37 83.18 总运送时间最小的最优方案： 表二 组数 服务楼层 服务楼层数 电梯数 总运送时间 运行周期 平均等待时间 1 2-6 5 1 4523.2 93.62 93.62 2 7-11 5 1 5574.5 98.62 98.62 3 12-15 4 1 5925.5 101.06 101.06 4 16-20 5 1 6141.4 109.67 109.67 5 21-25 5 1 5879.4 108.14 108.14 6 26-30 5 1 4743.7 120.98 120.98 上表中，第一种方案是平均等待时间较短的最优方案，第二种方案是总运送时间最小的方案。分析可知，第一种方案虽然平均等待时间最短，但总运送时间较长；第二种方案等待时间较长，但与方案一相差不太大，且总运送时间很短。根据题中所述乘客常常碰到再5分钟就迟到但电梯等了好长时间还没来的情况，因此我们采用总运送时间最短的方案，即方案二。 六、模型评价与推广 本文建立的模型可以推广到在交通需求较大的高层或超高建筑，通过采用群组分区运行方式，能有效减少了平均运行周期、乘客平均等待时间及平均行程时间等指标，从而提高电梯交通系统运行效率。对于高层建筑中电梯分组优化, 本模型是一种十分实用的方法对于下班高峰以及公共汽车的调度等间题, 本模型同样适用。 优点：建立了群组分区的方式划分电梯运行区域，使得电梯能够最大限度的运载乘客，解决上班高峰期电梯拥挤状况。 缺点：模型存在许多细节没有完善, 比如简化为排队等待状态下的电梯调度安排，未考虑乘客在上班时间段的到达的分布情况，而且在现实中电梯可能会因某层无乘客出电梯而不在该层停靠。由于问题的复杂性，对模型的求解只进行了较简单分析，模型没有做到很精细，使得结果跟真正最优值可能存在一些误差，这些有待于进一步研究。 参考文献 [1] 宗群,尚晓光,岳有军,等.电梯群控系统的交通模式识别[j].控制与决策（Control and Decision）,2001,16(2):163-166. [2] 高东红，张海龙.几种电梯运行模式的比较及应用，数学的实践与认识，2008年5月第38卷第10期. [3] 宗群,蔡昱.基于电梯交通流概率仿真模型的空闲交通模式电梯调度方法, 控制与决策,2002年8月第17卷第3期.