2023届河南省新乡市辉县市第一高级中学高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则 A． B． C． D． 2．若集合，则=（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ） A． B． C． D． 6．若2m＞2n＞1，则（ ） A． B．πm﹣n＞1 C．ln（m﹣n）＞0 D． 7．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 8．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ） A． B． C． D． 9．设过定点的直线与椭圆：交于不同的两点，，若原点在以为直径的圆的外部，则直线的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）. A． B．9 C．5 D． 11．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A． B． C． D． 12．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线在处的切线的斜率为________. 14．记为等比数列的前n项和，已知，，则_______. 15．定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________. 16．若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆：的两个焦点是，，在椭圆上，且，为坐标原点，直线与直线平行，且与椭圆交于，两点.连接、与轴交于点，. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：为定值. 18．（12分）已知在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项的和. 19．（12分）在直角坐标系中，曲线上的任意一点到直线的距离比点到点的距离小1. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若点是圆上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为，求直线斜率的取值范围. 20．（12分）已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为. （1）求实数的值及函数的单调区间； （2）设函数，证明时， . 21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，. （1）证明：平面平面ABCD； （2）设H在AC上，，若，求PH与平面PBC所成角的正弦值. 22．（10分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得. 【题目详解】 因为或，，所以，故选C. 【答案点睛】 本题考查集合的交运算，属于容易题. 2、C 【答案解析】 求出集合，然后与集合取交集即可． 【题目详解】 由题意，，，则，故答案为C. 【答案点睛】 本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 3、B 【答案解析】 求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论. 【题目详解】 由，得，则集合， 所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题. 4、A 【答案解析】 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得. 【题目详解】 解：， ∴， 设， ∴， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴， 当时，，当，， 函数恒过点， 分别画出与的图象，如图所示， ， 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值， ∴且，即，且 ∴， 故实数m的最大值为， 故选：A 【答案点睛】 本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 5、D 【答案解析】 根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【题目详解】 解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到 再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象 ， 故选：D 【答案点睛】 考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题. 6、B 【答案解析】 根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析. 【题目详解】 若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正确； 而当m，n时，检验可得，A、C、D都不正确， 故选：B． 【答案点睛】 此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系，需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项. 7、C 【答案解析】 试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直 考点：直线与直线的位置关系 8、C 【答案解析】 由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，，则函数的周期是， 所以，， 又函数为上的奇函数，且当时，， 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题. 9、D 【答案解析】 设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【题目详解】 显然直线不满足条件，故可设直线：， ，，由，得， ， 解得或， ，， ， ， ， 解得， 直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 【答案点睛】 本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 10、A 【答案解析】 根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值. 【题目详解】 定点为, ， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值. 故选：A 【答案点睛】 本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型. 11、B 【答案解析】 ①利用真假表来判断，②考虑内角为，③利用特称命题的否定是全称命题判断， ④利用集合间的包含关系判断. 【题目详解】 若“且”为假命题，则﹑中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为时，不是象限角，故②错误； 由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为，所以，所以“”是“”的必要条件， 故④正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题. 12、C 【答案解析】 设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值． 【题目详解】 设，则，记， ，易知是增函数，且的值域是， ∴的唯一解，且时，，时，，即， 由题意，而，， ∴，解得，． ∴． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出函数的导数，利用导数的几何意义令，即可求出切线斜率. 【题目详解】 ， ， ， 即曲线在处的切线的斜率. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题. 14、 【答案解析】 设等比数列的公比为，将已知条件等式转化为关系式，求解即可. 【题目详解】 设等比数列的公比为， ， . 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查等比数列通项的基本量运算，属于基础题. 15、 【答案解析】 根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无零点，不合题意；当时，令，得，令 ，得或 ，再分当，两种情况讨论求解. 【题目详解】 由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点， 至多有两个零点，不合题意； 当时，令，得，令 ，得或 ， 如图所示： 当时，即时，要有3个零点，则，解得； 当时，即时，要有3个零点，则， 令， ， 所以在是减函数，又， 要使，则须，所以. 综上：实数的取值范围是. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题. 16、 【答案解析】 化简函数，求出在上的单调递增区间，然后根据在和上均单调递增，列出不等式求解即可． 【题目详解】 由知， 当时，在和上单调递增， 在和上均单调递增， ， ， 的取值范围为：． 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组，属中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）证明见解析 【答案解析】 （1）根据椭圆的定义可得，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程； （2）设直线的方程，代入椭圆方程，求得直线和的方程，求得和的横坐标，表示出，根据韦达定理即可求证为定值. 【题目详解】 （1）因为，由椭圆的定义得，， 点在椭圆上，代入椭圆方程，解得， 所以的方程为； （2）证明：设，，直线的斜率为，设直线的方程为， 联立方程组，消去，整理得， 所以，， 直线的直线方程为，令，则， 同理， 所以： ， 代入整理得， 所以为定值. 【答案点睛】 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题. 18、（1）（2） 【答案解析】 （1）由基本量法，求出公比后可得通项公式； （2）求出，用裂项相消法求和． 【题目详解】 解：（1）设等比数列的公比为 又因为，所以 解得（舍）或 所以，即 （2）据（1）求解知，， 所以 所以 【答案点睛】 本题考查求等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和．解题方法是基本量法．基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法，务必掌握． 19、（1）；（2） 【答案解析】 （1）设，根据题意可得点的轨迹方程满足的等式，化简即可求得动