2023届江西南昌市八一中学高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 2．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ） A． B． C． D． 3．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（ ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，，且分别是棱，的中点，下面四个结论： ①； ②平面； ③三棱锥的体积的最大值为； ④与一定不垂直. 其中所有正确命题的序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④ 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） A． B．6 C． D． 6．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．2 B． C．6 D．8 7．已知集合，，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． B．或 C． D． 8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 9．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 10．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称 11．在中，内角的平分线交边于点，，，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 12．设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，且向量与的夹角为_______. 14．函数在的零点个数为_________. 15．在中，角，，的对边长分别为，，，满足，，则的面积为__． 16．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1. （1）求的方程； （2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率. 18．（12分）已知分别是的内角的对边，且． （Ⅰ）求． （Ⅱ）若，，求的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的值． 19．（12分）如图，三棱锥中， （1）证明：面面； （2）求二面角的余弦值. 20．（12分）如图在四边形中，，，为中点，. （1）求； （2）若，求面积的最大值. 21．（12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B级的概率； （2）若一件手工艺品质量为A，B，C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元. ①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望. 22．（10分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率 【题目详解】 解：抛物线经过点 ，， ，， 故选：A 【答案点睛】 考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题. 2、D 【答案解析】 由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【题目详解】 由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为, 所以所求概率, 故选:D 【答案点睛】 本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题. 3、C 【答案解析】 连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率. 【题目详解】 如图，连接， 椭圆：的右顶点为A，右焦点为F， B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限， 直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点 为的中位线， ，且， ， 解得椭圆的离心率. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题. 4、D 【答案解析】 ①通过证明平面，证得；②通过证明，证得平面；③求得三棱锥体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得与一定不垂直. 【题目详解】 设的中点为，连接，则，，又，所以平面，所以，故①正确；因为，所以平面，故②正确；当平面与平面垂直时，最大，最大值为，故③错误；若与垂直，又因为，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以显然与不可能垂直，故④正确. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 5、D 【答案解析】 用列举法，通过循环过程直接得出与的值，得到时退出循环,即可求得. 【题目详解】 执行程序框图，可得，，满足条件，，，满足条件，，，满足条件，，，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为. 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易. 6、A 【答案解析】 先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【题目详解】 由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为. 故选A 【答案点睛】 本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 7、C 【答案解析】 根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果. 【题目详解】 由韦恩图可知：阴影部分表示， ，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合. 8、D 【答案解析】 由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【题目详解】 如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得， ∴． 正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为， 则由得，解得， ∴． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 9、C 【答案解析】 求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程的渐近线方程为，由题意可得，又，即，解得，，即可得到所求双曲线的方程. 【题目详解】 解：抛物线的焦点为 可得双曲线 即为的渐近线方程为 由题意可得，即 又，即 解得，. 即双曲线的方程为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题. 10、B 【答案解析】 根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【题目详解】 根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得， 所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以， 又，所以，所以， 令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B． 【答案点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 11、B 【答案解析】 利用正弦定理求出，可得出，然后利用余弦定理求出，进而求出，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积. 【题目详解】 为的角平分线，则. ，则， ， 在中，由正弦定理得，即，① 在中，由正弦定理得，即，② ①②得，解得，， 由余弦定理得，， 因此，的面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 12、C 【答案解析】 设，求，作为的函数，其最小值是6，利用导数知识求的最小值． 【题目详解】 设，则，记， ，易知是增函数，且的值域是， ∴的唯一解，且时，，时，，即， 由题意，而，， ∴，解得，． ∴． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查导数的应用，考查用导数求最值．解题时对和的关系的处理是解题关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 根据向量数量积的定义求解即可． 【题目详解】 解：∵向量，且向量与的夹角为， ∴||； 所以：•（）2cos2﹣2＝1， 故答案为：1． 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的数量积的定义，属于基础题． 14、1 【答案解析】 本问题转化为曲线交点个数问题，在同一直角坐标系内，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可. 【题目详解】 问题函数在的零点个数，可以转化为曲线交点个数问题. 在同一直角坐标系内，画出函数的图象，如下图所示： 由图象可知：当时，两个函数只有一个交点. 故答案为：1 【答案点睛】 本题考查了求函数的零点个数问题，考查了转化思想和数形结合思想. 15、． 【答案解析】 由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入，计算可得所求． 【题目详解】 解：把看成关于的二次方程， 则，即， 即为， 化为，而， 则， 由于，可得， 可得，即， 代入方程可得，，