2023年细品一例典型图形.doc

细品一例典型图形细品一例典型图形 钱德平 袁林 近年来各地立体几何考题都注重考查空间图形位置关系，尤其是平行垂直的证明，它们都是以某一几何体为载体进行考查的，如果在平时学习的过程中我们注意留心对立体几何中的一些典型图形的研究，对我们认识空间图形，提高空间想象力会很有帮助.本文以一图例加以说明.我们用硬纸剪一个三边均不等的锐角三角形 AOB，然后以 AB 边上的高 OD 为折痕，折两个直角三角形，使之直立在桌面上（如图 1），然后转动其中的一个直角三角形 ODA，使得在底面三角形 DAB 中DAB=90，这样就得到了一个三棱锥（如图 2）.人教版必修 2第 65、69 页的探究题与苏教版必修 2第 71 页的操作题都出现了这个图形，该图例有着十分丰富的性质：（l）三棱锥 O-DAB 的四个面都是直角三角形;（2）有三个直二面角分别为 O-BDA，O-ADB，B-AO-D;（3）V 三棱锥=l/6 OD.DA.BA;（4）若直线 BO 与平面 ABD 所成的角为，DBA=，OBA=，则 cos=COS.cos.（以上结论要会证明）一、该图形在教材中时隐时现、贯穿始终 限于篇幅，我们仅列出部分例习题：（苏教版 P39 例 4）如图 3，已知BAC 在平面 内，P/，PAB=PAC.求证：点 P 在平面 内的射影在BAC 的平分线上.该图如果以平面 PAO 为截面将该组合体分成全等的两个部分，其中每一个三棱锥都是上述图例.人教版 P74B 组第 2 题与之类似.（苏教版 P42 第 9 题）如图 4，AB 为圆 0 的直径，PA 垂直于圆 0 所在的平面，C 为圆 0 上不同于 A，B 的任意一点，求证：BC 上平面 PAC.（人教版 P69 例 3）如图 4，AB 是圆 0 的直径，PA 垂直于圆 0 所在的平面，C是圆周上不同于 A，B 的任意一点，求证：平面 PAC 上平面 PBC.（人教版 P73 习题第 3 题）在三棱锥 V-ABC 中，VAB=VAC=ABC=90，试判断平面 VBA 与平面 VBC 的位置关系，并说明理由.在我们学习的正棱锥、正棱台及后继的旋转体中都经常出现这样的几何体.如图5，在正三棱锥 P_ABC，PO平面 ABC，三棱锥 P-ODB 具有图例的特点.如图 6，在正四棱台 ABCD-A1B1C1Dl 中，侧棱延长交于点 P，上下底中心分别为 0，01，斜高为 PE1 交 BC 于 E，过 B 作 BB2B1D1，交 B1D1 于 B2，再过 B2 作 B2 E2B1C1 交 B1C1 于 E2，连结 BE2，则可知三棱锥 P-01E1 B1，三棱锥 B-B1B2 E2 具有该几何体特征.二、链接考题（2010 年江苏卷）如图 7，在四棱锥 PABCD 中，PD 上平面 ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90.求证：PCBC.图中的三棱锥 P-BCD 就是我们的图例，要证明的结论就是图例性质的结论（l）.（2011 年湖南卷理科 19）如图 8，在圆锥 PO 中，已知 PO=2，0 的直径 AB=2，C 是 AB 的中点，D 为 AC 的中点.证明：平面 POD 上平面 PAC.要证明的结论是图例性质的结论（2）.（2014 年福建卷）如图 9，在平面四边形 ABCD 中，AB=BD=CD=1，ABBD，CD上 BD.将ABD 沿 BD 折起，使得平面 ABD 上平面 BCD，求证：AB CD.若连结 AC 就为本图例.事实上，因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD=BD，AB C 平面 ABD，AB BD，所以 AB平面 BCD.义因为 CD（平面 BCD，所以 ABCD.以上高考题考查了空间直线与平面的位置关系的证明，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力，如果同学对本图例相关知识有足够的认识，问题就可轻松获得解决.三、旧图形，再思考，新认识 如果我们以这个图例为载体，适当地添加或删减部分直线与平面就可以得到一些新的问题.如图 10，在三棱锥 P_ABC 中，PA 上平面 ABC，AC BC，倘若过点 A 作 AEPB交 PB 于 E，过 A 点作 AFPC 交 PC 于 F，连结 EF，这样就得到相关的直线，那么 EF 与 PB 的位置关系如何？由图例的相关知识可知平面 APC平面 BPC，又 AF PC，由面面垂直的性质定理可得 AF 上平面 PBC，进而由线面垂直的性质得到 AF PB.又因为 AE PB，结合线面垂直的判定定理可得 PB平面 AEF，从而由线面垂直的性质定理可得EFPB.课本中一些出彩的题目，可以由该图例演变得到，还可以再根据课本题推演下去.如图 11（苏教版必修 2P70 第 18 题），由图例三棱锥 C1-ADC，经过补体可补成课本中的正三棱柱，提出课本中的相关问题，再思考下去，在正三棱柱的棱长都相等的条件下，若 F 为棱 BB1 的中点，可由本图例的性质推证 CF平面 ADC1.事实上几何体之间是相互联系的，借助割与补的思想可以将柱体割成锥体，同时可以将锥体补成柱体（台体），同学们在学习的过程中要善于抓住一些常见的几何体去研究剖析，仔细品味.熟知它们的一些结論，对用综合法证明立体几何问题是很有好处的.