2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案分段函数绝对值函数高中数学.docx

2．11分段函数与绝对值函数 ——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之 一、明确复习目标 了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法 二．建构知识网络 1.分段函数:定义域中各段的x与y的对应法那么不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究. 三、双基题目练练手 1.设函数f〔x〕=那么使得f〔x〕≥1的x的取值范围为 ( ) A.〔－∞，－2］∪［0，10］ B.〔－∞，－2］∪［0，1］ C.〔－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2023安徽)函数 的反函数是 〔 〕 A． B． C． D． 3．(2023启东质检)，那么以下函数图象错误的选项是( ) 4.〔2023全国Ⅱ〕函数的最小值为 ( ) 〔A〕190 〔B〕171 〔C〕90 〔D〕45 5.〔2023北京市西城模拟〕函数f〔x〕=那么f〔lg30－lg3〕=___________；不等式xf〔x－1〕＜10的解集是_______________. 6. 〔2023浙江〕对,记那么那么函数 的最小值是　　. 　7.函数,当a<0时,f{f[f(a)]}= 8.函数的值域 。 　简答:1-4.ACDC; 4.x=10时,取最小值90.f(x)=|x-1|+|x-2|+…+|x-19| =|x-1|+…+|x-10|+|11-x|+…+|19-x| ≥|x-1+x-2+…x-9+11-x+…19-x|+|x-10| ≥|90|+0=90, 当x=10时取等号.一般地:… 5. f〔lg30－lg3〕=f〔lg10〕=f〔1〕=－2， f〔x－1〕= 当x≥3时，x〔x－3〕＜10－2＜x＜5，故3≤x＜5. 当x＜3时，－2x＜10x＞－5，故－5＜x＜3.解集 {x|－5＜x＜5} 6. 由， 如右图 7.;8. 当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，－x2<0原函数值域是[1,+∞]∪(－∞,0)。 四、经典例题做一做 【例1】设定义在N上的函数f〔x〕满足f〔n〕=求f〔2023〕. 解：∵2023＞2023， ∴f〔2023〕=f［f〔2023－18〕］=f［f〔1984〕］=f［1984+13］=f〔1997〕=1997+13=2023. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上. 【例2】判断函数的奇偶性。 　　解：当x>0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x2(x－1)=f(x)； 　　当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x－1)= －x2(x+1)=f(x)。因此，对任意x∈R都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。 提炼方法：:分段函数的奇偶性必须对x的值分类比拟f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。 【例3】(2023启东质检)函数, 〔1〕当时，求证：； 〔2〕是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，假设存在，那么求出的值，假设不存在，请说明理由； 〔3〕假设存在实数，使得函数的定义域为时，值域为，求m的取值范围． 解:〔1〕∵，∴ ∴在〔0，1〕上为减函数，在〔1，＋∞〕上是增函数． 由，可得， 所以有，即．∴ 故，即 〔2〕不存在满足条件的实数． 假设存在满足条件的实数，使得函数的定义域、值域都是[]，那么．由 ①当∈〔0，1〕时，在〔0，1〕上为减函数． 故，即，解得． 故此时不存在适合条件的实数． ②当∈时，在〔1，＋∞〕上为增函数．故，即 此时是方程的根，由于此方程无实根． 故此时不存在适合条件的实数． ③当∈〔0，1〕，时，由于1∈[]，而，故此时不存在适合条件的实数． 综上可知，不存在适合条件的实数． 〔3〕假设存在实数，使得函数的定义域为[]时，值域为，那么． ①当∈〔0，1〕时，由于在〔0，1〕上是减函数，值域为， 即 解得a＝b>0，不合题意，所以不存在． ②当时，由〔2〕知0在值域内，值域不可能是，所以不存在．故只有． ∵在〔1，＋∞〕上是增函数，∴，即 是方程有两个根． 即关于x的方程有两个大于1的实根． 设这两个根为．那么 ∴即 解得． 综上m的取值范围是． 【例4】设a为实数，设函数的最大值为g(a)。 〔Ⅰ〕设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)； 〔Ⅱ〕求g(a)； 解：〔I〕∵t=+, ∴要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1. ∵t2=2+2∈[2,4],t≥0, ① ∴t的取值范围是[,2]. 由①得=t2-1, ∴m(t)=a(t2-1)+t=at2+t-a,t∈[,2]. (Ⅱ)由题意知g(a)即为函数m〔t〕=at2+t-a, t∈[,2]的最大值. 注意到直线t=-是抛物线m(t)= at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论. (1)当a>0时，函数y=m(t), t∈[,2]的图像是开口向上的抛物线的一段，由 t=-<0知m(t)在[,2]上单调递增, ∴g(a)=m(2)=a+2. (2)当a=0时，m(t)=t,t∈[,2], ∴g(a)=2. (3)当a<0时，函数y=m(t), t∈[,2]的图像是开口向下的抛物线的一段. 假设t=-∈(0,]，即a≤-，那么g(a)=m()=. 假设t=-∈(,2]，即a∈(-,-那么g(a)=m(-)=-a-. 假设t=-∈(2,+ ∞)，即a∈(-,0),那么g(a)=m(2)=a+2. 综上有g(a)= 核心步骤:(1) m(t)=a(t2-1)+t=at2+t-a,t∈[,2]. (2)求g(a)=[m(t)]max,按对称轴相对于区间[,2]的位置,对a分类分类讨论. 【研讨.欣赏】(2023全国)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植本钱与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=； 写出图二表示的种植本钱与时间的函数关系式Q=； (Ⅱ) 认定市场售价减去种植本钱为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？ (注：市场售价和种植本钱的单位：元/kg，时间单位：天) 解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为 f(t)= 由图二可得种植本钱与时间的函数关系为 g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300． (Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，那么由题意得 h(t)=f(t)－g(t) 即h(t)= 当0≤t≤200时，配方整理得 h(t)=－(t－50)2＋100， 所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t≤300时，配方整理得 h(t)=－(t－350)2＋100 所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5． 综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 思路点拨: 题(Ⅱ)分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数,再分段求最值. 五．提炼总结以为师 1.分段函数、绝对值函数问题类型—— 2.分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。 同步练习 2．11分段函数与绝对值函数 【选择题】 1.(2023山东)设，那么不等式的解集为 ( ) A. B. C. D. 2．函数在〔－∞，＋∞〕上单调递减，那么实数a的取值范围是 ( ) A．〔0,1〕 B．〔0,〕 C． D． 3. 函数构造函数F(x)，定义F如下：当时，，当时，，那么 ( 〕 A．有最小值－1，无最大值 B．有最小值0，无最大值 C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值 【填空题】 4.f〔x〕=那么不等式xf〔x〕+x≤2的解集是________________. 5.〔2023北京东城模拟〕定义“符号函数〞f〔x〕=sgnx=那么不等式x+2＞〔x－2〕sgnx的解集是______________. 6.函数f(x)=|x2－2x－3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，那么a= 。 　　简答提示:1-3. C DA; 4.分段解取并集{x|x≤1}; 5.〔－，+∞〕;6. 由图象易知a=4。 【解答题】 7.求函数的反函数。 　　解：∵ f(x)在R上是单调减函数， ∴ f(x)在R上有反函数。 　　∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是 (x≥1), 　　　 y=1－x(x>0)的反函数是y=1－x(x<1), 　　∴ 函数f(x)的反函数是 　　注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。 　 8.设A={x||x|=kx+1},假设A∩R+=φ,A∩R-≠φ,求实数k的取值范围. 解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标,结合图形知,当直线y=kx+1在α范围内时,方程有负根,且没有正根,故k≥1. 解法2:由题意须 ①有解, ②无解. ①中k=-1时无解,; ②中k=1时无解,k≠0时,假设那么②有解, 所以, k≥1. 9. (2023浙江)函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x． (Ⅰ)求函数g(x)的解析式； (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|； (Ⅲ)假设h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围． 解：〔I〕设函数的图象上任一点关于原点的对称点为, 那么 即 . ∵点在函数的图象上. 即 故g(x)＝. (II)由可得： 当1时， 此时不等式无解。 当时， 因此，原不等式的解集为[-1, ]. (III) ① 当时，＝在[-1,1]上是增函数， ②当时，对称轴的方程为 (i) 当时，，解得。 (ii)　当时，1时，解得 综上, 10. 　某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率与日产量〔件〕之间大体满足关系： 〔其中c为小于96的正常数〕 注：次品率，如表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品． 每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，故厂方希望定出适宜的日产量． 〔1〕试将生产这种仪器每天的盈利额〔元〕表示为日产量〔件〕的函数； 〔2〕当日产量为多少时，可获得最大利润？ 讲解　〔1〕当时，，所以，每天的盈利额; 当时，，所以，每日生产的合格仪器约有件，次品约有件．故，每天的盈利额 . 综上，日盈利额〔元〕与日产量〔件〕的函数关系为： 〔2〕由〔1〕知，当时，每天的盈利额为0． 当时，． 令，那么．故 ． 当且仅当，即时，等号成立． 所以〔i〕当时，〔等号当且仅当时成立〕． 〔ii〕 当时，由