2023届江苏省常州市高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，，若方程恰有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．6 3．已知向量与向量平行，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（ ） A． B． C． D． 5．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm3 A． B． C． D． 6．设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C．7 D．2 7．已知是虚数单位，若，则（ ） A． B．2 C． D．3 8．设，，则（ ） A． B． C． D． 9．已知，则（ ） A． B． C． D．2 10．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ） A．1 B．1 C．9 D．8 11．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（ ） A．1 B． C． D． 12．设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=__________． 14．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 . 15．曲线在处的切线的斜率为________. 16．已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数，若，则实数的值为_____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工． （1）求这个样本数据的中位数和众数； （2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望． 18．（12分）设函数. （1）若恒成立，求整数的最大值； （2）求证：. 19．（12分）的内角、、所对的边长分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，点是线段的中点，，求的面积. 20．（12分）已知正数x，y，z满足x+y+z=t（t为常数），且的最小值为，求实数t的值. 21．（12分）已知. （1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值； （2）试讨论函数零点的个数. 22．（10分）已知函数. （1）若是的极值点，求的极大值； （2）求实数的范围，使得恒成立. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由题意可将方程转化为，令，，进而将方程转化为，即或，再利用的单调性与最值即可得到结论. 【题目详解】 由题意知方程在上恰有三个不相等的实根， 即，①. 因为，①式两边同除以，得. 所以方程有三个不等的正实根. 记，，则上述方程转化为. 即，所以或. 因为，当时，，所以在，上单调递增，且时，. 当时，，在上单调递减，且时，. 所以当时，取最大值，当，有一根. 所以恰有两个不相等的实根，所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题. 2、C 【答案解析】 由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解. 【题目详解】 设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为， 则，，设 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得： ， 则 当且仅当时，取等号. 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 3、B 【答案解析】 设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标. 【题目详解】 设，且，， 由得，即，①，由，②， 所以，解得，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 4、B 【答案解析】 列举出循环的每一步，可得出输出结果. 【题目详解】 ，，不成立，，； 不成立，，； 不成立，，； 成立，输出的值为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 5、D 【答案解析】 解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体， 结合图中数据，计算它的体积为： V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1． 故答案为6+1.5π． 点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 6、B 【答案解析】 根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果． 【题目详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题． 7、A 【答案解析】 直接将两边同时乘以求出复数，再求其模即可. 【题目详解】 解：将两边同时乘以，得 故选：A 【答案点睛】 考查复数的运算及其模的求法，是基础题. 8、D 【答案解析】 由不等式的性质及换底公式即可得解. 【题目详解】 解：因为，，则，且， 所以，， 又, 即,则， 即， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题. 9、B 【答案解析】 结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【题目详解】 由，以及，解得. . 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 10、C 【答案解析】 根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题. 【题目详解】 初始值， 第一次循环：，； 第二次循环：，； 第三次循环：，； 第四次循环：，； 第五次循环：，； 第六次循环：，； 第七次循环：，； 第九次循环：，； 第十次循环：，； 所以输出. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题. 11、C 【答案解析】 根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值． 【题目详解】 由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C． 【答案点睛】 本题考查程序框图，是基础题． 12、D 【答案解析】 先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【题目详解】 构造函数， 因为， 所以， 所以为奇函数， 当时，，所以在上单调递减， 所以在R上单调递减. 因为存在， 所以， 所以， 化简得， 所以，即 令， 因为为函数的一个零点， 所以在时有一个零点 因为当时，， 所以函数在时单调递减， 由选项知，， 又因为， 所以要使在时有一个零点， 只需使，解得， 所以a的取值范围为，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据等差中项性质，结合等比数列通项公式即可求得公比；代入表达式，结合对数式的化简即可求解. 【题目详解】 等比数列的各项都是正数，且成等差数列， 则， 由等比数列通项公式可知， 所以， 解得或（舍）， 所以由对数式运算性质可得 ， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了等差数列通项公式的简单应用，等比数列通项公式的用法，对数式的化简运算，属于中档题. 14、. 【答案解析】 . 15、 【答案解析】 求出函数的导数，利用导数的几何意义令，即可求出切线斜率. 【题目详解】 ， ， ， 即曲线在处的切线的斜率. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题. 16、 【答案解析】 先推导出函数的周期为，可得出，代值计算，即可求出实数的值. 【题目详解】 由于函数是定义在上的奇函数，则， 又该函数的图象关于直线对称，则， 所以，，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）43，47；（2）分布列见解析，. 【答案解析】 （1）根据茎叶图即可得到中位数和众数； （2）根据数据可得任取一名优秀员工的概率为，故，写出分布列即可得解. 【题目详解】 （1）中位数为，众数为． （2）被调查的名工人中优秀员工的数量， 任取一名优秀员工的概率为，故， ，， 的分布列如下： 故 【答案点睛】 此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用. 18、（1）整数的最大值为；（2）见解析. 【答案解析】 （1）将不等式变形为，构造函数，利用导数研究函数的单调性并确定其最值，从而得到正整数的最大值； （2）根据（1）的结论得到，利用不等式的基本性质可证得结论. 【题目详解】 （1）由得， 令，， 令，对恒成立， 所以，函数在上单调递增， ，，，， 故存在使得，即， 从而当时，有，，所以，函数在上单调递增； 当时，有，，所以，函数在上单调递减. 所以，， ，因此，整数的最大值为； （2）由（1）知恒成立，， 令则， ，，，， 上述等式全部相加得， 所以，， 因此， 【答案点睛】 本题考查导数在函数单调性、最值中的应用，以及放缩法证明不等式的技巧，属于难题． 19、（1）（2） 【答案解析】 （1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出的值； （2）由题意得出，两边平方，化简得出，根据三角形面积公式，即可得出结论. 【题目详解】 （1） 由正弦定理得 即 即 在中，，所以 （2）因为点是线段的中点，所以 两边平方得 由得 整理得，解得或（舍） 所以的面积 【答案点睛】 本题主要考查了