2023年高考数学一轮复习第十三节定积分与微积分基本定理理课下作业新人教版.docx

第十三节 定积分与微积分根本定理〔理〕 题组一 定积分的计算 f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，那么f(x)dx等于 (　　) A．0 B．4 C．8 D．16 解析：原式＝f(x)dx＋f(x)dx， ∵原函数为偶函数， ∴在y轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 答案：D 2．设f(x)＝那么f(x)dx等于 (　　) A. B. C. D．不存在 解析：数形结合， f(x)dx=x2dx+(2-x)dx = =. 答案：C 3．计算以下定积分： (1) (2x2－)dx； (2)(＋)2dx； (3)(sinx－sin2x)dx； 解：(1) (2x2－)dx＝(x3－lnx) ＝－ln 2－＝－ln 2. (2)(＋)2dx＝(x＋＋2)dx ＝(x2＋lnx＋2x) ＝(＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4) ＝ln＋. (3) (sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋cos2x) ＝(－－)－(－1＋)＝－. 题组二 求曲多边形的面积 4．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影局部)，那么该闭合图形的面积是 (　　) A．1 B. C. D．2 解析：函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝. 答案：B 5．函数y＝x2与y＝kx(k＞0)的图象所围成的阴影局部 (如以下图)的面积为，那么k＝________. 解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]， 再由(kx－x2)dx＝(－)＝＝求得k＝2. 答案：2 6．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动， 记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积 分别记为S1，S2，假设S1＝S2，那么点P的坐标为________． 解析：设直线OP的方程为y＝kx, P点的坐标为(x，y)， 那么(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx， 即(kx2－x3)＝(x3－kx2)， 解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)， 解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为(，)． 答案：(，) 题组三 定积分在物理中的应用 v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，那么此物体在时间[1,2]内的位移为 (　　) A.　　　　　B. C. D. 解析：s＝(t2－t＋2)dt＝(t3－t2＋2t)|＝. 答案：A 8．假设1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，那么需要花费的功为(　　) A．0.05 J B．0.5 J C．0.25 J D．1 J 解析：设力F＝kx(k是比例系数)，当F＝1 N时，x＝0.01 m，可解得k＝100 N/m，那么F＝100x，所以W＝100xdx＝50x2＝0.5 J. 答案：B 9．一辆汽车的速度—时间曲线如以下图，那么该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米． 解析：据题意，v与t的函数关系式如下： v＝v(t)＝ 所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为 s＝＝＋＋ ＝t2＋(50t－t2)＋10t ＝900米． 答案：900 题组四 定积分的综合应用 10.(2023·烟台模拟)假设y＝(sint＋costsint)dt，那么y的最大值是 (　　) A．1　 B．2 C．－ D．0 解析：y＝(sint＋costsint)dt＝(sint＋sin2t)dt ＝(－cost－cos2t)＝－cosx－cos2x＋ ＝－cosx－(2cos2x－1)＋＝－cos2x－cosx＋ ＝－(cosx＋1)2＋2≤2. 答案：B 11．(2023·温州模拟)假设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么dx的值是________． 解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由(ax＋b)dx＝5得(ax2＋bx)＝a＋b＝5， ① 由xf(x)dx＝得 (ax2＋bx)dx＝，即 (ax3＋bx2) ＝，∴a＋b＝， ② 解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3， 于是dx＝dx＝ (4＋)dx ＝(4x＋3lnx)＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2. 答案：4＋3ln2 12．设f(x)＝|x2－a2|dx. (1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)； (2)当a≥0时，求f(a)的最小值． 解：(1)0≤a≤1时， f(a)＝|x2－a2|dx ＝(a2－x2)dx＋(x2－a2)dx ＝(a2x－x3)＋(－a2x) ＝a3－a3－0＋0＋－a2－＋a3 ＝a3－a2＋. 当a＞1时， f(a)＝(a2－x2)dx ＝(a2x－x3) ＝a2－. ∴f(a)＝ (2)当a＞1时，由于a2－在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)＝1－＝. 当a∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a＝2a(2a－1)， 由f′(a)＞0知：a＞或a＜0， 故在[0，]上递减，在[，1]上递增． 因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f()＝. 综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为.