2023届山东省高密市高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列，，，…，是首项为8，公比为得等比数列，则等于（ ） A．64 B．32 C．2 D．4 2．在满足，的实数对中，使得成立的正整数的最大值为( ) A．5 B．6 C．7 D．9 3．已知，函数在区间内没有最值，给出下列四个结论： ①在上单调递增； ② ③在上没有零点； ④在上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④ 4．的展开式中的系数是-10，则实数( ) A．2 B．1 C．-1 D．-2 5．设集合（为实数集），，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知数列的前项和为，且，，则( ) A． B． C． D． 7．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 8．已知函数是奇函数，且，若对，恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．设实数、满足约束条件，则的最小值为（ ） A．2 B．24 C．16 D．14 11．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A．、 B．、 C．、 D．、 12．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数则______. 14．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______. 15．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______． 16．已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与的交点为，若，则直线的方程为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18．（12分）设数列是等比数列，，已知, (1)求数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式． 19．（12分）如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点. （1）求证： 平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程. 21．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点． （1）求证：． （2）若，求二面角的余弦值． 22．（10分）已知函数，． （Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据题意依次计算得到答案. 【题目详解】 根据题意知：，，故，，. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力. 2、A 【答案解析】 由题可知：，且可得，构造函数求导，通过导函数求出的单调性，结合图像得出，即得出， 从而得出的最大值. 【题目详解】 因为， 则，即 整理得，令， 设， 则， 令,则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减，则， 因为，， 由题可知：时，则，所以， 所以， 当无限接近时，满足条件，所以， 所以要使得 故当时，可有， 故，即， 所以：最大值为5. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力. 3、A 【答案解析】 先根据函数在区间内没有最值求出或.再根据已知求出，判断函数的单调性和零点情况得解. 【题目详解】 因为函数在区间内没有最值. 所以，或 解得或. 又，所以. 令.可得.且在上单调递减. 当时，，且， 所以在上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4、C 【答案解析】 利用通项公式找到的系数，令其等于-10即可. 【题目详解】 二项式展开式的通项为，令，得， 则，所以，解得. 故选：C 【答案点睛】 本题考查求二项展开式中特定项的系数，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 5、A 【答案解析】 根据集合交集与补集运算,即可求得. 【题目详解】 集合,, 所以 所以 故选:A 【答案点睛】 本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 6、C 【答案解析】 根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得. 【题目详解】 由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题. 7、D 【答案解析】 令，可得. 在坐标系内画出函数的图象（如图所示）. 当时，.由得. 设过原点的直线与函数的图象切于点， 则有，解得. 所以当直线与函数的图象切时. 又当直线经过点时，有，解得. 结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是. 即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D. 点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解. 8、A 【答案解析】 先根据函数奇偶性求得，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可. 【题目详解】 因为函数是奇函数， 所以函数是偶函数. ， 即， 又， 所以，. 函数的定义域为，所以， 则函数在上为单调递增函数.又在上， ，所以为偶函数，且在上单调递增. 由， 可得，对恒成立， 则，对恒成立，， 得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题. 9、B 【答案解析】 根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围. 【题目详解】 根据题意，画出函数图像如下图所示： 函数的零点，即. 由图像可知，， 所以是的一个零点， 当时，，若， 则，即，所以，解得； 当时，， 则，且 若在时有一个零点，则， 综上可得， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题. 10、D 【答案解析】 做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【题目详解】 做出满足的可行域，如下图阴影部分， 根据图象，当目标函数过点时，取得最小值， 由，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 11、A 【答案解析】 设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增， 得到，进而变形即可求解. 【题目详解】 由题意，设，则， 又由，所以，即函数在R上单调递增， 则，即， 变形可得. 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 12、B 【答案解析】 由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【题目详解】 依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是. 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先由解析式求得（2），再求（2）． 【题目详解】 （2），， 所以（2）， 故答案为： 【答案点睛】 本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”,属于容易题． 14、 【答案解析】 取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积. 【题目详解】 在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为， 连接.由，得，， 由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，, 又由已知可得平面平面，平面，， ，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径， 三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题. 15、 【答案解析】 函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值． 【题目详解】 解：函数的定义域为，，， 设曲线与曲线公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，． 由，可得． 联立，解得． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 16、 【答案解析】 设直线l的方程为，，联立直线l与抛物线C的方程，得到A，B点横坐标的关系式，代入到中，解出t的值，即可求得直线l的方程 【题目详解】 设直线． 由题设得，故， 由题设可得． 由可得， 则， 从而，得， 所以l的方程为, 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了直线