2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案平均值不等式高中数学.docx

6.2算术平均数 几何平均数 一、明确复习目标 1.掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理; 2.会用平均值定理求最大或最小值; 3.能运用均值定理来揭示数量间或实际问题中的不等关系. 二．建构知识网络 1．根本不等式 〔1〕 〔2〕，那么 (3) ,(拓展内容) 2 均值不等式: 两个正数的均值不等式： 三个正数的均值不等是： n个正数的均值不等式： ——两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系,这是一个非常重要的不等式,许多题目可以从中找到解题途径． 3．最值定理:设 〔1〕如果x,y是正数,且积,那么xy时, 〔2〕如果x,y是正数和,那么x=y时, 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比拟大小等。此外还要掌握如下常用不等式 ;， 假设a>b>0,m>0,那么 ； 假设a,b同号且a>b那么,等。 三、双基题目练练手 1. 〔2023浙江〕“a>b>0”是〞ab<〞的 ( ) 〔A〕充分而不必要条件 〔B〕必要而不充分条件 〔C〕充分必要条件 〔D〕既不充分也不必要条件 2．(2023福建)设的最小值是 〔 〕 A． B． C．－3 D． 3.〔2023重庆〕假设且，那么的最小值为 ( ) 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 4.(2023陕西8) 不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,那么正实数a的最小值为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 5. 假设a是正实数，2a2+3b2=10，那么的最大值等于________。 6. (2023春上海) 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：假设有限数列 满足， 那么___________________和 结论用数学式子表示〕. 简答:1-4.ACDB; 3.(2a+b+c)2=4a2+b2+c2+4ab+4ac+2bc ≥4a2+2bc+4ab+4ac+2bc=4(a2+ab+bc+ac)=4(4-2) ∴2a+b+c≥2－1.当且仅当b=c时取等号. 4.令 5. ; 6. 和 四、经典例题做一做 【例1】(1)a，b为正常数，x，y为正实数，且，求x+y的最小值。 (2)假设a>b>0, 求的最小值 (3)求的最大值 解(1)法一：直接利用根本不等式：≥当且仅当，即时等号成立 说明：为了利用均值不等式，此题利用了“1〞的逆代换。 法二：消元化为一元函数 由得 ∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由>0得y-b>0 ∴ x+y≥ 当且仅当，即时，等号成立 法三：三角代换.令，，∈〔0，〕 ∴ ， ∴ x+y= ≥ 当且仅当时，等号成立 (2)分析: 的分母(a—b)b,而(a—b)+b=a, 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b求最小值，然后在对a求最小值 解法一: =[(a—b)+b]2 + ≥[2]2 +=4(a—b)b+≥16 当且仅当b=(a—b)且(a—b)b=2,即a=2b=2时取等号,故的最小值为16 解法二: 当且仅当b=(a—b)且, 即a=2b=2时取等号,故的最小值为16 (3) (假设由无解“=〞不成立) 令,可以证明y(u)在递减 ∴u=2,即x=0时,ymax=3 ◆ 提炼方法：1.(1)题法一将“1〞利用回代,充分利用了倒数关系,巧妙灵活; 2.法二,三是常用的两种消元方法,即代数消元和三角换元,要熟练掌握. 3.在运用均值不等式求最值时,必须保证“一正,二定,三等〞.凑出定值是关键!“=〞成立必须保证,假设有几步放缩,只要每步取等号的条件相同即可. 【例2】ab+a+2b=30,(a>0,b>0),求证:ab≤18. 证明:法1:由,(a+2)(b+1)=32, ab=30-(a+2b)=34-[(a+2)+2(b+1)] 法2:由 ,∴ab=30-(a+2b)≤18 法3:由得 ∴ 【例3】:a>b>c>d,求证:. 证明: ∵a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d),题中出现了“和〞与“倒数和〞 ∴利用调和平均数与算术平均数的关系 得: 【例4】 (2023北京)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量〔千辆/小时〕与汽车的平均速度v〔千米/小时〕之间的函数关系为：． (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？〔精确到千辆/小时〕 〔2〕假设要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，那么汽车的平均速度应在什么范围内？ 解：〔Ⅰ〕依题意， 〔Ⅱ〕由条件得 整理得v2－89v+1600<0, 即〔v－25〕〔v－64〕<0,解得25<v<64. 答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，那么汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时． 【研讨.欣赏】在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=l〔定值〕，将图形沿AB的中垂线折叠，使点A落在点B上， 求图形未被遮盖局部面积的最大值. E A B D C 解：将图形沿AB的中垂线折叠，使点A落在点B上, 未被遮盖局部是Rt 设,，那么， Rt 的面积 当且仅当时, 故图形未被遮盖局部面积的最大值是. 五．提炼总结以为师 1.掌握均值不等式,正确理解它的运用条件和“取最值〞的条件; 2.掌握公式形式特征，能正用、逆用和变形运用，会 “添拆项〞凑定值和等号成立的条件。 3.在用均值定理解决实际问题时,要理解题意,设变量时要把要求最大值或最小值的变量定为函数,建立相应的函数关系式,在定义域内,求出函数的最大值或最小值. 同步练习 6.2算术平均数 几何平均数 【选择题】 1.(2023安徽)设，命题；命题，那么是成立的〔 〕 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．以下结论正确的选项是 〔 〕 A．当 B． C．的最小值为2 D．当无最大值 3． (2023湖南)设那么以下不等式中不恒成立的是 〔 〕 A． B． C． D． 4．(2023全国I)的最小值为( 〕 A．－ B．－ C．－－ D．+ 【填空题】 5. 以下不等式中恒成立的是_________ ①ctgθ＋tgθ≥2 ②x＋－1≥2 ③≥2 ④xyz≤ (x＋y＋z=1) 6.假设x，y是正数，那么的最小值是_______ 简答.提示：1-4.BBBB; 5. ②③; 6.原式= 【解答题】 7. 设x≥0, y≥0, x2+=1,求的最大值. 解法一: ∵x≥0, y≥0, x2+=1 ∴== ≤== 当且仅当x=,y=(即x2= )时, 取得最大值 解法二: 令(0≤≤) 那么=cos= ≤= 当=, 即=时,x=,y=时，取得最大值 8.(1)假设x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+)(1+)≥9 (2)设实数x，y满足y+x2=0，0<a<1，求证：≤。 证明:(1)法一: 左边＝(1+)(1+)=1+++=1++ =1+≥1+=9＝右边 (当且仅当x=y=时取“=〞号) 法二： 令x= y=, 0<< 左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+) =1+++·=1+ =1+≥1+8=9＝右边 0<2< =时，x=y=时取等号 法三：∵x+y=1 ∴左边＝(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+) =5+2(+)≥5+4=9＝右边 (当且仅当x=y=时取“=〞号) (2)∵ ≥， ≤，0<a<1 ∴ ≥ ∴ ≥ ∴ ≤ 9.某种生产设备购置时费用10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即年平均费用最少) 解:设使用x年的年平均费用为y(万元)，那么 y＝≥1+2＝3， 当且仅当x＝10时，等号成立. 10. 设a、b、c均为实数，求证：++≥++. 证明：∵a、b、c均为实数， ∴〔＋〕≥≥，当a=b时等号成立； 〔＋〕≥≥，当b=c时等号成立； 〔＋〕≥≥． 三个不等式相加即得++≥++，当且仅当a=b=c时等号成立. 【探索题】(1).a3+b3=1,求a+b的取值范围. (2) a>0,b>0,a+b=4,求的最小值. 解(1) 易知,否那么a=－b代入a3+b3=0与矛盾. 令a+b=t≠0,由1=(a+b)3-3ab(a+b),得 ,视a,b为方程 的根, 由,得 ① ∴①为 ∴ (2) 由4=a+b得ab≤4. ∴ 当且仅当a=b时取“=〞,所求最小值为. 易错解:原式,最小值为8.