2023年大学高数下册试题及答案.docx

天道酬勤 大学高数下册试题及答案 高等数学〔下册〕测试题一 一、选择题〔每题3分，本大题共15分〕〔在括号中填上所选字母〕1．设有直线 及平面，那么直线〔 A 〕A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处〔 C 〕A．连续、偏导数存在；B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，那么＝〔 B 〕A．；B．；C． D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，那么曲面积分 ＝〔 D 〕A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式〔 B 〕A．；B．；C．；D．. 二、填空题〔每题3分，本大题共15分〕1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，那么此平面方程为；2．设，那么＝；3．设为正向一周，那么 0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，那么正数 ；5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，假设也是该方程的解，那么应有 1 . 三、〔此题7分〕设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，那么 解出 从而 四、〔此题7分〕点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：， 从而 五、〔此题8分〕计算累次积分 〕. 解：依据上下限知，即分区域为 作图可知，该区域也可以表示为 从而 六、〔此题8分〕计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比拟方便， 七．〔此题8分〕计算，其中是抛物面被平面所截下的有限局部. 解：由对称性 从而 八、〔此题8分〕计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上 且连续， 从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取 九、〔此题8分〕计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，那么构成封闭曲面的外侧 十、〔此题8分〕设二阶连续可导函数，适合，求． 解：由 即 十一、〔此题4分〕求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式 比拟得,比照特征根，推得，从而特解形式可设为 代入方程得 十二、〔此题4分〕在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的外表积最小. 解：设点的坐标为，那么问题即在求最小值。 令，那么由 推出，的坐标为 附加题：〔供学习无穷级数的学生作为测试〕1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：由于，该级数不会绝对收敛， 显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛 2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为， 3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。 高等数学〔下册〕测试题二 一、选择题〔每题3分，本大题共15分〕〔在括号中填上所选字母〕1．设，且可导，那么为〔 D 〕A．；；B．；C．；D．． 2．从点到一个平面引垂线，垂足为点，那么这个平面的方 程是〔 B 〕A．；B．；C．；D．． 3．微分方程的通解是〔 D 〕A．；B．；C．；D．． 4．设平面曲线为下半圆周，那么曲线积分等于〔 A 〕A．；B．；C．；D．． 5．累次积分＝〔 A 〕A．；B．；C．；D．． 二．填空题〔每题5分，本大题共15分〕1．曲面在点处的切平面方程是；. 2．微分方程的待定特解形式是；3．设是球面的外测，那么曲面积分 ＝． 三、 一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：〔即L2：〕都相交，求该直线方程．〔此题7分〕解：先求两直线与平面的交点，由 由 由两点式方程得该直线：四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．〔此题7分〕解：沿梯度方向上函数的方向导数 五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？〔此题8分〕解：设底圆半径为，高为，那么由题意，要求的是在条件下的最小值。 由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省 六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．〔此题8分〕解：观察得知该用极坐标， 七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．〔此题8分〕解：解：观察得知该用先二后一的方法 八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．〔此题8分〕解：在上半平面上 且连续， 从而在上半平面上该曲线积分与路径无关， 取折线 九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．〔此题8分〕解：由于，故 为上半球面，那么 原式 十、求微分方程 的解．〔此题8分〕解：由，得 十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．〔此题4分〕解：沿着直线， 依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。 而 十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．〔此题4分〕解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否那么不能有这样的特解。从而特征方程为 因此 为非齐次方程的另一个特解， 故，，通解为 附加题：〔供学习无穷级数的学生作为测试〕1．求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数． 解：由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为 看， 那么 从而 2．求函数在处的幂级数展开式． 解：3．将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围． 解：作周期延拓， 从而 高等数学〔下册〕测试题三 一、填空题 1．假设函数在点处取得极值，那么常数． 2．设，那么． 3．设S是立方体的边界外侧，那么曲面积分 3 ． 4．设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛区间为． 5．微分方程用待定系数法确定的特解〔系数值不求〕的形式为． 二、选择题 1．函数在点处〔 D 〕． 〔A〕无定义；〔B〕无极限；〔C〕有极限但不连续；〔D〕连续． 2．设，那么〔 B 〕． 〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕． 3．两个圆柱体，公共局部的体积为〔 B 〕． 〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕． 4．假设，，那么数列有界是级数收敛的〔 A 〕． 〔A〕充分必要条件；〔B〕充分条件，但非必要条件；〔C〕必要条件，但非充分条件；〔D〕既非充分条件，又非必要条件． 5．函数〔为任意常数〕是微分方程的〔 C 〕． 〔A〕通解；〔B〕特解；〔C〕是解，但既非通解也非特解；〔D〕不是解． 三、求曲面上点处的切平面和法线方程． 解：切平面为 法线为 四、求通过直线 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线． 解：设过直线的平面束为 即 第一个平面平行于直线， 即有 从而第一个平面为 第二个平面要与第一个平面垂直， 也即 从而第二个平面为 五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切． 解：直线为，从而有定解条件， 特征方程为 方程通解为，由定解的初值条件 ，由定解的初值条件 从而，特解为 六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程 试求出函数． 解：因为 特征方程为 七、计算曲面积分 ， 其中是球体与锥体的公共局部的外表，，，是其外法线方向的方向余弦． 解：两外表的交线为 原式，投影域为， 用柱坐标 原式 另解：用球坐标 原式 八、试将函数展成的幂级数〔要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间〕． 解：九、判断级数的敛散性． 解：当，级数收敛；当，级数发散；当时级数收敛；当时级数发散 十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧． 解：再取，围成半圆的正向边界 那么 原式 十一、求曲面：到平面：的最短距离． 解：问题即求在约束下的最小值 可先求在约束下的最小值点 取 时， 这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。