2023年西城区初三数学期末试卷及答案3.docx

北京市西城区2023— 2023学年度第一学期期末试卷 九年级数学参考答案及评分标准 2023.1 一、选择题〔此题共30分，每题3分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C D A D C B D 二、填空题〔此题共18分，每题3分〕 11． ． 12．>． 13．90． 14．满足 即可，如：AD=10． 15． ． 16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 三、解答题〔此题共72分，第17﹣26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕 17．解：原式= ………………………………………………………3分 = =． …………………………………………………………………………5分 18．解：∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°． ∵在Rt△ABD中，AB=12，∠BAD=30°， ∴BD=AB=6， …………………………………1分 AD=AB·cos∠BAD = 12·cos30°=． ……………………………………2分 ∵BC=15， ∴CD= BC－BD=15－6=9． ………………………………………………………3分 ∴在Rt△ADC中，tanC= ……………………………………………………4分 ==． ………………………………………5分 19．解：〔1〕令，那么． 解得 ，． ………………………………………………………1分 ∵点A在点B的左侧， ∴A〔，0〕，B〔3，0〕． …………………………………………………2分 对称轴为直线． …………………………………………………………3分 〔2〕∵当时，， ∴顶点C的坐标为〔1，4〕． …………………………………………………4分 ∵点C，D关于x轴对称， ∴点D的坐标为〔1，〕． ∵AB=， ∴． ………………………………5分 20．〔1〕证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC． ……………………1分 ∵∠A=∠BDC， ∴△ABD∽△DCB． ……………………3分 〔2〕解：∵△ABD∽△DCB， ∴． …………………………………………………………4分 ∵AB=12，AD=8，CD=15， ∴． ∴DB=10． ………………………………………………………………5分 21．解：根据题意，得 ． …………………………………………2分 整理得 ． 解得 ，． …………………………………………………………3分 ∵不符合题意，舍去， ∴． ……………………………………………………………………………4分 答：人行通道的宽度是2米． ……………………………………………………5分 22．解：〔1〕∵抛物线：与x轴有且只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根． ∴． ……………………………………………………1分 解得 ． …………………………………………………………………2分 〔2〕∵抛物线：，顶点坐标为〔1，0〕， 抛物线：的顶点坐标为〔-1，-8〕， ………………3分 ∴将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线． …………………………………………………………………4分 〔3〕． ……………………………………………………………………5分 23．解：〔1〕∵OC⊥AB于点D， ∴AD=DB， ……………………………………1分 ∠ADO=90°． ∵AB=， ∴AD=． ∵∠AOD=2∠E，∠E=30°， ∴∠AOD=60°． ………………………………………………………………2分 ∵在Rt△AOD中，sin∠AOD=， ∴OA==4． ………………………………………………3分 〔2〕∠BAF=75°或15°． ……………………………………………………………5分 24．解：〔1〕∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°， ∴∠BAD=90°—∠B=45°． ∴∠BAD=∠B． ∴AD=DB． ……………………………1分 设AD=x， ∵在Rt△ADC中，tan∠ACD=，∠ACD=58°， ∴DC=． ………………………………………………………………3分 ∵DB= DC+ CB=AD，CB=90， ∴+90=x． ……………………………………………………………4分 将tan58°≈代入方程， 解得x≈240． …………………………………………………………………5分 答：最高塔的高度AD约为240米． 图1 25．〔1〕证明：连接OC，如图1． ∵ PC是⊙O的切线，C为切点， ∴OC⊥PC． ……………………………1分 ∴∠PCO=∠1+∠2=90°． ∵PD⊥AB于点D， ∴∠EDA=90°． ∴∠A+∠3=90°． ∵OA=OC， ∴∠A=∠1． ∴∠2=∠3． ∵∠3=∠4， ∴∠2=∠4． 即∠PCE=∠PEC． …………………………………………………………2分 图2 〔2〕解：作PF⊥EC于点F，如图2． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵在Rt△ABC中，AB=10，， ∴BC=AB·sinA=6． ∴AC==8． ………………………………………………………3分 ∵在Rt△AED中，ED=， ∴AE==． ∴EC=AC－AE=． ∵∠2=∠4， ∴PE=PC． ∵PF⊥EC于点F， ∴FC=EC=， ……………………………………………………………4分 ∠PFC=90°． ∴∠2+∠5=90°． ∵∠A+∠2=∠1+∠2=90°． ∴∠A=∠5． ∴sin∠5 =． ∴在Rt△PFC中，PC==． ……………………………………5分 26．解：〔2〕抛物线如以下图； ……………………1分 〔3〕，或； ……………………3分 〔4〕或． ……………………5分 27．解：〔1〕∵二次函数， 当和时所对应的函数值相等， ∴二次函数的图象的对称 轴是直线． ∵二次函数的图象经过点A〔，〕， ∴ ……………………………………………………………1分 解得 ∴二次函数的表达式为． ………………………………2分 〔2〕过点B作BD⊥x轴于点D，如图1． 图1 ∵一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点， ∴． 解得 ，． ………………3分 ∴交点坐标为〔2，1〕，〔5，〕． ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为〔2，1〕． ∴点D的坐标为〔2，〕． 在Rt△ABD中，AD=1，BD=1， ∴AB==． …………………………………………………4分 〔3〕结论：四边形ABCN的形状是矩形． ………………………………………5分 证明：设一次函数的图象与x轴交于点E，连接MB，MN，如图2． 图2 ∵点B绕点M旋转180°得到点N， ∴M是线段BN的中点． ∴MB= MN． ∵M是线段AC的中点， ∴MA= MC． ∴四边形ABCN是平行四边形． ……6分 ∵一次函数的图象与x轴交于点E， 当时，． ∴点E的坐标为〔3，0〕． ∴DE=1= DB． ∴在Rt△BDE中，∠DBE=∠DEB=45°． 同理∠DAB=∠DBA=45°． ∴∠ABE=∠DBA+∠DBE=90°． ∴四边形ABCN是矩形． ……………………………………………7分 28．解：〔1〕，垂直； …………………………2分 〔2〕①补全图形如以下图； ………………3分 ②结论：〔1〕中NM与AB的位置关系不变． 证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠CAB=∠B=45°． ∴∠CAN +∠NAM=45°． ∵AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE， ∴AD=AE，∠DAE=90°． ∵N为ED的中点， ∴∠DAN=∠DAE=45°， AN⊥DE． ∴∠CAN +∠DAC =45°， ∠AND=90°． ∴∠NAM =∠DAC． ………………………………………………4分 在Rt△AND中，=cos∠DAN= cos45°=． 在Rt△ACB中，=cos∠CAB= cos45°=． ∵M为AB的中点， ∴AB=2AM． ∴． ∴． ∴． ∴△ANM∽△ADC． ∴∠AMN=∠ACD． ∵点D在线段BC的延长线上， ∴∠ACD=180°－∠ACB =90°． ∴∠AMN=90°． ∴NM⊥AB． ………………………………………………………5分 〔3〕当BD的长为 6 时，ME的长的最小值为 2 ． ……………………………7分 图1 29．解：〔1〕所得图形，如图1所示． ……………………1分 〔2〕①45°； ………………………………………3分 ②(，)或(，)； ……………5分 〔3〕①如图2，直线OQ与⊙M相切于点Q， 点Q在第一象限， 连接MQ，过点Q作QH⊥x轴于点H． ∵直线OQ与⊙M相切于点Q， ∴MQ⊥OQ． 图2 M Q H ∴∠MQO=90°． ∵MO=2，MQ=1， ∴在Rt△MQO中，sin∠MOQ=． ∴∠MOQ=30°． ∴OQ=OM﹒cos∠MOQ=． ∵QH⊥x轴， ∴∠QHO=90°． ∵∠QOH=90°∠MOQ=60°， ∴在Rt△QOH中，QH= OQ﹒si