2023届吉林省公主岭市高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设命题：，，则为 A．， B．， C．， D．， 2．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( ) A．1 B．-3 C．1或 D．-3或 3．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ） A． B． C． D． 4．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ） A．3 B．5 C．7 D．9 7．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知实数满足约束条件，则的最小值为（ ） A．-5 B．2 C．7 D．11 10．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A．134 B．67 C．182 D．108 12．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是 （ ） A．0 B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设，则“”是“”的__________条件. 14．若，则__________. 15．已知点是抛物线的准线上一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，且，若双曲线C中心在原点，F是它的一个焦点，且过P点，当m取最小值时，双曲线C的离心率为______. 16．定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围. 18．（12分）已知函数. （1）若曲线存在与轴垂直的切线，求的取值范围. （2）当时，证明：. 19．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点． （1）证明：平面； （2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积． 20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上，且． （1）证明：直线与圆相切； （2）设与椭圆的另一个交点为，当的面积最小时，求的长． 21．（12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，且是与的等差中项. （1）证明：为等差数列，并求； （2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数的值. 22．（10分）十八大以来，党中央提出要在2020年实现全面脱贫，为了实现这一目标，国家对“新农合”（新型农村合作医疗）推出了新政，各级财政提高了对“新农合”的补助标准．提高了各项报销的比例，其中门诊报销比例如下： 表1：新农合门诊报销比例 医院类别 村卫生室 镇卫生院 二甲医院 三甲医院 门诊报销比例 60% 40% 30% 20% 根据以往的数据统计，李村一个结算年度门诊就诊人次情况如下： 表2：李村一个结算年度门诊就诊情况统计表 医院类别 村卫生室 镇卫生院 二甲医院 三甲医院 一个结算年度内各门诊就诊人次占李村总就诊人次的比例 70% 10% 15% 5% 如果一个结算年度每人次到村卫生室、镇卫生院、二甲医院、三甲医院门诊平均费用分别为50元、100元、200元、500元．若李村一个结算年度内去门诊就诊人次为2000人次． （Ⅰ）李村在这个结算年度内去三甲医院门诊就诊的人次中，60岁以上的人次占了80%，从去三甲医院门诊就诊的人次中任选2人次，恰好2人次都是60岁以上人次的概率是多少？ （Ⅱ）如果将李村这个结算年度内门诊就诊人次占全村总就诊人次的比例视为概率，求李村这个结算年度每人次用于门诊实付费用（报销后个人应承担部分）的分布列与期望． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 【题目详解】 因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，. 故本题答案为D. 【答案点睛】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题. 2、D 【答案解析】 由题得，解方程即得k的值. 【题目详解】 由题得，解方程即得k=-3或. 故答案为：D 【答案点睛】 (1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离. 3、C 【答案解析】 由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项. 【题目详解】 由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由,可知若,则必有, 故选:C 【答案点睛】 本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力. 4、D 【答案解析】 倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【题目详解】 解：因为直线与直线垂直，所以，. 又为直线倾斜角，解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 5、B 【答案解析】 ,选B 6、D 【答案解析】 根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得 ，利用周期性可得函数在区间上的零点个数． 【题目详解】 ∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得， 函数的周期为3， ∵当时， ， 令，则，解得或1， 又∵函数是定义域为的奇函数， ∴在区间上，有． 由，取，得 ，得， ∴． 又∵函数是周期为3的周期函数， ∴方程=0在区间上的解有 共9个， 故选D． 【答案点睛】 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题． 7、D 【答案解析】 求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可. 【题目详解】 设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2， 则 =2，化简得. ∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1， ∴ ，解得， ∴椭圆的离心率为． 故选D． 【答案点睛】 本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 8、B 【答案解析】 利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【题目详解】 解：， 则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：， 位于第二象限. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 9、A 【答案解析】 根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值. 【题目详解】 由约束条件，画出可行域如图 变为为斜率为-3的一簇平行线，为在轴的截距， 最小的时候为过点的时候， 解得所以， 此时 故选A项 【答案点睛】 本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题. 10、A 【答案解析】 双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x， 不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c）， 与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣）， ∵点M在以线段F1F1为直径的圆外， ∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1， ∴＞3，即b1＞3a1， ∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a． 则e=＞1． ∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）． 故选：A． 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 11、B 【答案解析】 根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【题目详解】 解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为， 则小正方形的边长为，小正方形的面积， 则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为 ， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 12、C 【答案解析】 试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论． 解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立， ∵y=-x-在区间上是增函数 ∴ ∴a≥- ∴a的最小值为-故答案为C． 考点：不等式的应用 点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、充分必要 【答案解析】 根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系. 【题目详解】 当时，有，故“”是“”的充分条件. 当时，有，故“”是“”的必要条件. 故“”是“”的充分必要条件， 故答案为：充分必要. 【答案点睛】 本题考查充分必要条件的判断，可利用定义来判断，也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断，还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断，本题属于容易题. 14、 【答案解析】 由已知利用两角差的正弦函数公式可得，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解． 【题目详解】 ，得， 在等式两边平方得，解得. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 15、 【答案解析】 由点坐标可确定抛物线方程，由此得到坐标和准线方程；过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线定义可得，可知当直线与